MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthwelem Unicode version

Theorem canthwelem 9049
Description: Lemma for canthnum 9048. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthwe.1
canthwe.2
canthwe.3
canthwe.4
Assertion
Ref Expression
canthwelem
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   O, , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem canthwelem
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . 8
2 eqid 2457 . . . . . . . 8
31, 2pm3.2i 455 . . . . . . 7
4 canthwe.2 . . . . . . . 8
5 elex 3118 . . . . . . . . 9
65adantr 465 . . . . . . . 8
7 df-ov 6299 . . . . . . . . 9
8 f1f 5786 . . . . . . . . . . 11
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
11 opabid 4759 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
13 canthwe.1 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10
159, 14ffvelrnd 6032 . . . . . . . . 9
167, 15syl5eqel 2549 . . . . . . . 8
17 canthwe.3 . . . . . . . 8
184, 6, 16, 17fpwwe2 9042 . . . . . . 7
193, 18mpbiri 233 . . . . . 6
2019simprd 463 . . . . 5
21 canthwe.4 . . . . . . . . . 10
2221, 21xpeq12i 5026 . . . . . . . . . . 11
2322ineq2i 3696 . . . . . . . . . 10
2421, 23oveq12i 6308 . . . . . . . . 9
2519simpld 459 . . . . . . . . . . 11
264, 6, 25fpwwe2lem3 9032 . . . . . . . . . 10
2720, 26mpdan 668 . . . . . . . . 9
2824, 27syl5eq 2510 . . . . . . . 8
29 df-ov 6299 . . . . . . . 8
30 df-ov 6299 . . . . . . . 8
3128, 29, 303eqtr3g 2521 . . . . . . 7
32 simpr 461 . . . . . . . 8
33 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . . 13
344, 6fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3525, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 dmss 5207 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
40 dmxpss 5443 . . . . . . . . . . . . . 14
4139, 40syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . 13
4233, 41syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . 12
4321, 42syl5eqss 3547 . . . . . . . . . . 11
4436simpld 459 . . . . . . . . . . 11
4543, 44sstrd 3513 . . . . . . . . . 10
46 inss2 3718 . . . . . . . . . . 11
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10
4835simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
4948simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
50 wess 4871 . . . . . . . . . . . 12
5143, 49, 50sylc 60 . . . . . . . . . . 11
52 weinxp 5072 . . . . . . . . . . 11
5351, 52sylib 196 . . . . . . . . . 10
54 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
5554cnvex 6747 . . . . . . . . . . . . 13
56 imaexg 6737 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
5821, 57eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
5954inex1 4593 . . . . . . . . . . 11
60 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13
6160sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . 12
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
6360sqxpeqd 5030 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63sseq12d 3532 . . . . . . . . . . . 12
65 weeq2 4873 . . . . . . . . . . . . 13
66 weeq1 4872 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . 12
6861, 64, 673anbi123d 1299 . . . . . . . . . . 11
6958, 59, 68opelopaba 4768 . . . . . . . . . 10
7045, 47, 53, 69syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9
7170, 13syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
726, 44ssexd 4599 . . . . . . . . . . 11
7354a1i 11 . . . . . . . . . . 11
74 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
7574sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . . 13
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
7774sqxpeqd 5030 . . . . . . . . . . . . . 14
7876, 77sseq12d 3532 . . . . . . . . . . . . 13
79 weeq2 4873 . . . . . . . . . . . . . 14
80 weeq1 4872 . . . . . . . . . . . . . 14
8179, 80sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . 13
8275, 78, 813anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . 12
8382opelopabga 4765 . . . . . . . . . . 11
8472, 73, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
8544, 37, 49, 84mpbir3and 1179 . . . . . . . . 9
8685, 13syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8
87 f1fveq 6170 . . . . . . . 8
8832, 71, 86, 87syl12anc 1226 . . . . . . 7
8931, 88mpbid 210 . . . . . 6
9058, 59opth1 4725 . . . . . 6
9189, 90syl 16 . . . . 5
9220, 91eleqtrrd 2548 . . . 4
9392, 21syl6eleq 2555 . . 3
94 ovex 6324 . . . . 5
9594eliniseg 5371 . . . 4
9620, 95syl 16 . . 3
9793, 96mpbid 210 . 2
98 weso 4875 . . . 4
9949, 98syl 16 . . 3
100 sonr 4826 . . 3
10199, 20, 100syl2anc 661 . 2
10297, 101pm2.65da 576 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  (class class class)co 6296
This theorem is referenced by:  canthwe  9050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator