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Theorem cantnf 8133
 Description: The Cantor Normal Form theorem. The function , which maps a finitely supported function from to to the sum ((A f( 1))o. 1) ((A f( 2))o. 2) over all indexes such that f( ) is nonzero, is an order isomorphism from the ordering of finitely supported functions to the set under the natural order. Setting and letting be arbitrarily large, the surjectivity of this function implies that every ordinal has a Cantor normal form (and injectivity, together with coherence cantnfres 8117, implies that such a representation is unique). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
Assertion
Ref Expression
cantnf
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem cantnf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3
2 cantnfs.a . . 3
3 cantnfs.b . . 3
4 oemapval.t . . 3
51, 2, 3, 4oemapso 8122 . 2
6 oecl 7206 . . . . 5
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4
8 eloni 4893 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 ordwe 4896 . . 3
11 weso 4875 . . 3
12 sopo 4822 . . 3
139, 10, 11, 124syl 21 . 2
141, 2, 3cantnff 8114 . . 3
15 frn 5742 . . . . 5
1614, 15syl 16 . . . 4
17 onss 6626 . . . . . . . 8
187, 17syl 16 . . . . . . 7
1918sseld 3502 . . . . . 6
20 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
21 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
2220, 21imbi12d 320 . . . . . . . . 9
2322imbi2d 316 . . . . . . . 8
24 r19.21v 2862 . . . . . . . . 9
25 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
269, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 dfss3 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . 14
33 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
363adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
39 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
407adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
41 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4340, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
511, 35, 37, 4, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 50cantnflem4 8132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 fczsupp0 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
57 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6059neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6158, 60syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6261necon2d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
63 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
64 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6563, 64bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6636, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
67 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6834, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6962, 66, 683imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7056, 69syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
72 fconstmpt 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7371, 72fmptd 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
763, 75fczfsuppd 7867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
781, 2, 3cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8073, 77, 79mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
81 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
821, 34, 36, 55, 80, 81cantnfval 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 we0 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
84 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8584oien 7984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8674, 83, 85mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
87 en0 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8886, 87mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988fveq2i 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9081seqom0g 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9174, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9289, 91eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9382, 92syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9414adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 80, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9993, 98eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10033, 51, 99pm2.61ne 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
10232, 101sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
103102ex 434 . . . . . . . . . . . 12
104103com23 78 . . . . . . . . . . 11
105104a2i 13 . . . . . . . . . 10
106105a1i 11 . . . . . . . . 9
10724, 106syl5bi 217 . . . . . . . 8
10823, 107tfis2 6691 . . . . . . 7
109108com3l 81 . . . . . 6
11019, 109mpdd 40 . . . . 5
111110ssrdv 3509 . . . 4
11216, 111eqssd 3520 . . 3
113 dffo2 5804 . . 3
11414, 112, 113sylanbrc 664 . 2
1152adantr 465 . . . . . 6
1163adantr 465 . . . . . 6
117 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
118 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
119117, 118eleq12d 2539 . . . . . . . . . . 11
120 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
121120imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12
122121ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
123119, 122anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
124123cbvrexv 3085 . . . . . . . . 9
125 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
126 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . 12
127 eleq12 2533 . . . . . . . . . . . 12
128125, 126, 127syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
129 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . 14
130 fveq1 5870 . . . . . . . . . . . . . 14
131129, 130eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . . . . 13
132131imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
133132ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11
134128, 133anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
135134rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
136124, 135syl5bb 257 . . . . . . . 8
137136cbvopabv 4521 . . . . . . 7
1384, 137eqtri 2486 . . . . . 6
139 simprll 763 . . . . . 6
140 simprlr 764 . . . . . 6
141 simprr 757 . . . . . 6
142 eqid 2457 . . . . . 6
143 eqid 2457 . . . . . 6
144 eqid 2457 . . . . . 6
1451, 115, 116, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144cantnflem1 8129 . . . . 5
146 fvex 5881 . . . . . 6
147146epelc 4798 . . . . 5
148145, 147sylibr 212 . . . 4
149148expr 615 . . 3
150149ralrimivva 2878 . 2
151 soisoi 6224 . 2
1525, 13, 114, 150, 151syl22anc 1229 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  {copab 4509   cep 4794  Powpo 4803  Orwor 4804  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cen 7533   cfsupp 7849  OrdIso`coi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  oemapwe  8134  cantnffval2  8135  cantnff1o  8158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
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