MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnf0 Unicode version

Theorem cantnf0 8115
Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnf0.a
Assertion
Ref Expression
cantnf0

Proof of Theorem cantnf0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3
2 cantnfs.a . . 3
3 cantnfs.b . . 3
4 eqid 2457 . . 3
5 cantnf0.a . . . . 5
6 fconst6g 5779 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
83, 5fczfsuppd 7867 . . . 4
91, 2, 3cantnfs 8106 . . . 4
107, 8, 9mpbir2and 922 . . 3
11 eqid 2457 . . 3
121, 2, 3, 4, 10, 11cantnfval 8108 . 2
13 eqidd 2458 . . . . . . 7
14 0ex 4582 . . . . . . . . 9
15 fnconstg 5778 . . . . . . . . 9
1614, 15mp1i 12 . . . . . . . 8
1714a1i 11 . . . . . . . 8
18 fnsuppeq0 6947 . . . . . . . 8
1916, 3, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7
2013, 19mpbird 232 . . . . . 6
21 oieq2 7959 . . . . . 6
2220, 21syl 16 . . . . 5
2322dmeqd 5210 . . . 4
24 we0 4879 . . . . . 6
25 eqid 2457 . . . . . . 7
2625oien 7984 . . . . . 6
2714, 24, 26mp2an 672 . . . . 5
28 en0 7598 . . . . 5
2927, 28mpbi 208 . . . 4
3023, 29syl6eq 2514 . . 3
3130fveq2d 5875 . 2
3211seqom0g 7140 . . 3
3314, 32mp1i 12 . 2
3412, 31, 333eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cen 7533   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  8166  cnfcom2lemOLD  8174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator