Theorem cantnfcl 8107

Description: Basic properties of the order isomorphism used later. The support of an is a finite subset of , so it is well-ordered by and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f

Assertion

Ref	Expression
cantnfcl

Proof of Theorem cantnfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssdm 6931	. . . . 5
2		cantnfcl.f	. . . . . . . 8
3		cantnfs.s	. . . . . . . . 9
4		cantnfs.a	. . . . . . . . 9
5		cantnfs.b	. . . . . . . . 9
6	3, 4, 5	cantnfs 8106	. . . . . . . 8
7	2, 6	mpbid 210	. . . . . . 7
8	7	simpld 459	. . . . . 6
9		fdm 5740	. . . . . 6
10	8, 9	syl 16	. . . . 5
11	1, 10	syl5sseq 3551	. . . 4
12		onss 6626	. . . . 5
13	5, 12	syl 16	. . . 4
14	11, 13	sstrd 3513	. . 3
15		epweon 6619	. . 3
16		wess 4871	. . 3
17	14, 15, 16	mpisyl 18	. 2
18		ovex 6324	. . . . . 6
19	18	a1i 11	. . . . 5
20		cantnfcl.g	. . . . . 6
21	20	oion 7982	. . . . 5
22	19, 21	syl 16	. . . 4
23	7	simprd 463	. . . . . 6
24	23	fsuppimpd 7856	. . . . 5
25	20	oien 7984	. . . . . 6
26	19, 17, 25	syl2anc 661	. . . . 5
27		enfii 7757	. . . . 5
28	24, 26, 27	syl2anc 661	. . . 4
29	22, 28	elind 3687	. . 3
30		onfin2 7729	. . 3
31	29, 30	syl6eleqr 2556	. 2
32	17, 31	jca 532	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  cep 4794  Wewwe 4842  con0 4883  domcdm 5004  -->wf 5589  (class class class)co 6296  com 6700  csupp 6918  cen 7533  cfn 7536  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfval2  8109  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnflt2  8113  cantnff  8114  cantnfp1lem2  8119  cantnfp1lem3  8120  cantnflem1b  8126  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cnfcomlem  8164  cnfcom  8165  cnfcom2lem  8166  cnfcom3lem  8168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100