Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Unicode version

Theorem cantnff 8019
 Description: The function is a function from finitely supported functions from to , to the ordinal exponential . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
Assertion
Ref Expression
cantnff

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5823 . . . 4
21csbex 4542 . . 3
32a1i 11 . 2
4 eqid 2454 . . . 4
5 cantnfs.a . . . 4
6 cantnfs.b . . . 4
74, 5, 6cantnffval 8006 . . 3
8 cantnfs.s . . . . 5
94, 5, 6cantnfdm 8007 . . . . 5
108, 9syl5eq 2507 . . . 4
1110mpteq1d 4490 . . 3
127, 11eqtr4d 2498 . 2
135adantr 465 . . . . . . . 8
146adantr 465 . . . . . . . 8
15 eqid 2454 . . . . . . . 8
16 simpr 461 . . . . . . . 8
17 eqid 2454 . . . . . . . 8
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8013 . . . . . . 7
1918adantr 465 . . . . . 6
20 ovex 6247 . . . . . . . . . . 11
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8012 . . . . . . . . . . . 12
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2315oien 7889 . . . . . . . . . . 11
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
26 suppssdm 6837 . . . . . . . . . . . 12
278, 5, 6cantnfs 8011 . . . . . . . . . . . . . 14
2827simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
29 fdm 5683 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10
33 feq3 5664 . . . . . . . . . . . . . 14
3428, 33syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13
3534imp 429 . . . . . . . . . . . 12
36 f00 5715 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 196 . . . . . . . . . . 11
3837simprd 463 . . . . . . . . . 10
39 sseq0 3783 . . . . . . . . . 10
4032, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4125, 40breqtrd 4433 . . . . . . . 8
42 en0 7506 . . . . . . . 8
4341, 42sylib 196 . . . . . . 7
4443fveq2d 5817 . . . . . 6
45 0ex 4539 . . . . . . 7
4617seqom0g 7045 . . . . . . 7
4745, 46mp1i 12 . . . . . 6
4819, 44, 473eqtrd 2499 . . . . 5
49 el1o 7073 . . . . 5
5048, 49sylibr 212 . . . 4
5138oveq2d 6238 . . . . 5
5213adantr 465 . . . . . 6
53 oe0 7096 . . . . . 6
5452, 53syl 16 . . . . 5
5551, 54eqtrd 2495 . . . 4
5650, 55eleqtrrd 2545 . . 3
5713adantr 465 . . . 4
5814adantr 465 . . . 4
5916adantr 465 . . . 4
60 on0eln0 4891 . . . . . 6
6113, 60syl 16 . . . . 5
6261biimpar 485 . . . 4
6331adantr 465 . . . 4
648, 57, 58, 59, 62, 58, 63cantnflt2 8018 . . 3
6556, 64pm2.61dane 2771 . 2
663, 12, 65fmpt2d 5996 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  {crab 2804   cvv 3081  [_csb 3401  C_wss 3442   c0 3751   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467   cep 4747  Wewwe 4795   con0 4836  domcdm 4957  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   com 6609   csupp 6824  seqomcseqom 7036   c1o 7047   coa 7051   comu 7052   coe 7053   cmap 7348   cen 7441   cfsupp 7755  OrdIso`coi 7860   ccnf 8004 This theorem is referenced by:  cantnfp1  8026  cantnflem1  8034  cantnflem3  8036  cantnflem4  8037  cantnf  8038  cantnfp1OLD  8052  cantnflem1OLD  8057  cantnflem3OLD  8058  cantnflem4OLD  8059  cantnfOLD  8060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-seqom 7037  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-oexp 7060  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-oi 7861  df-cnf 8005
 Copyright terms: Public domain W3C validator