MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Unicode version

Theorem cantnff 8114
Description: The function is a function from finitely supported functions from to , to the ordinal exponential . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
Assertion
Ref Expression
cantnff

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . 4
21csbex 4585 . . 3
32a1i 11 . 2
4 eqid 2457 . . . 4
5 cantnfs.a . . . 4
6 cantnfs.b . . . 4
74, 5, 6cantnffval 8101 . . 3
8 cantnfs.s . . . . 5
94, 5, 6cantnfdm 8102 . . . . 5
108, 9syl5eq 2510 . . . 4
1110mpteq1d 4533 . . 3
127, 11eqtr4d 2501 . 2
135adantr 465 . . . . . . . 8
146adantr 465 . . . . . . . 8
15 eqid 2457 . . . . . . . 8
16 simpr 461 . . . . . . . 8
17 eqid 2457 . . . . . . . 8
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8108 . . . . . . 7
1918adantr 465 . . . . . 6
20 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8107 . . . . . . . . . . . 12
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2315oien 7984 . . . . . . . . . . 11
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
26 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . . 12
278, 5, 6cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . 14
2827simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
29 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10
33 feq3 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
3428, 33syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13
3534imp 429 . . . . . . . . . . . 12
36 f00 5772 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 196 . . . . . . . . . . 11
3837simprd 463 . . . . . . . . . 10
39 sseq0 3817 . . . . . . . . . 10
4032, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4125, 40breqtrd 4476 . . . . . . . 8
42 en0 7598 . . . . . . . 8
4341, 42sylib 196 . . . . . . 7
4443fveq2d 5875 . . . . . 6
45 0ex 4582 . . . . . . 7
4617seqom0g 7140 . . . . . . 7
4745, 46mp1i 12 . . . . . 6
4819, 44, 473eqtrd 2502 . . . . 5
49 el1o 7168 . . . . 5
5048, 49sylibr 212 . . . 4
5138oveq2d 6312 . . . . 5
5213adantr 465 . . . . . 6
53 oe0 7191 . . . . . 6
5452, 53syl 16 . . . . 5
5551, 54eqtrd 2498 . . . 4
5650, 55eleqtrrd 2548 . . 3
5713adantr 465 . . . 4
5814adantr 465 . . . 4
5916adantr 465 . . . 4
60 on0eln0 4938 . . . . . 6
6113, 60syl 16 . . . . 5
6261biimpar 485 . . . 4
6331adantr 465 . . . 4
648, 57, 58, 59, 62, 58, 63cantnflt2 8113 . . 3
6556, 64pm2.61dane 2775 . 2
663, 12, 65fmpt2d 6061 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cmap 7439   cen 7533   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnfp1  8121  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131  cantnflem4  8132  cantnf  8133  cantnfp1OLD  8147  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153  cantnflem4OLD  8154  cantnfOLD  8155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator