MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Unicode version

Theorem cantnff 8019
Description: The function is a function from finitely supported functions from to , to the ordinal exponential . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
Assertion
Ref Expression
cantnff

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5823 . . . 4
21csbex 4542 . . 3
32a1i 11 . 2
4 eqid 2454 . . . 4
5 cantnfs.a . . . 4
6 cantnfs.b . . . 4
74, 5, 6cantnffval 8006 . . 3
8 cantnfs.s . . . . 5
94, 5, 6cantnfdm 8007 . . . . 5
108, 9syl5eq 2507 . . . 4
1110mpteq1d 4490 . . 3
127, 11eqtr4d 2498 . 2
135adantr 465 . . . . . . . 8
146adantr 465 . . . . . . . 8
15 eqid 2454 . . . . . . . 8
16 simpr 461 . . . . . . . 8
17 eqid 2454 . . . . . . . 8
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8013 . . . . . . 7
1918adantr 465 . . . . . 6
20 ovex 6247 . . . . . . . . . . 11
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8012 . . . . . . . . . . . 12
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2315oien 7889 . . . . . . . . . . 11
2420, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . 10
2524adantr 465 . . . . . . . . 9
26 suppssdm 6837 . . . . . . . . . . . 12
278, 5, 6cantnfs 8011 . . . . . . . . . . . . . 14
2827simprbda 623 . . . . . . . . . . . . 13
29 fdm 5683 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . 11
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10
33 feq3 5664 . . . . . . . . . . . . . 14
3428, 33syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13
3534imp 429 . . . . . . . . . . . 12
36 f00 5715 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36sylib 196 . . . . . . . . . . 11
3837simprd 463 . . . . . . . . . 10
39 sseq0 3783 . . . . . . . . . 10
4032, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4125, 40breqtrd 4433 . . . . . . . 8
42 en0 7506 . . . . . . . 8
4341, 42sylib 196 . . . . . . 7
4443fveq2d 5817 . . . . . 6
45 0ex 4539 . . . . . . 7
4617seqom0g 7045 . . . . . . 7
4745, 46mp1i 12 . . . . . 6
4819, 44, 473eqtrd 2499 . . . . 5
49 el1o 7073 . . . . 5
5048, 49sylibr 212 . . . 4
5138oveq2d 6238 . . . . 5
5213adantr 465 . . . . . 6
53 oe0 7096 . . . . . 6
5452, 53syl 16 . . . . 5
5551, 54eqtrd 2495 . . . 4
5650, 55eleqtrrd 2545 . . 3
5713adantr 465 . . . 4
5814adantr 465 . . . 4
5916adantr 465 . . . 4
60 on0eln0 4891 . . . . . 6
6113, 60syl 16 . . . . 5
6261biimpar 485 . . . 4
6331adantr 465 . . . 4
648, 57, 58, 59, 62, 58, 63cantnflt2 8018 . . 3
6556, 64pm2.61dane 2771 . 2
663, 12, 65fmpt2d 5996 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  {crab 2804   cvv 3081  [_csb 3401  C_wss 3442   c0 3751   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467   cep 4747  Wewwe 4795   con0 4836  domcdm 4957  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   com 6609   csupp 6824  seqomcseqom 7036   c1o 7047   coa 7051   comu 7052   coe 7053   cmap 7348   cen 7441   cfsupp 7755  OrdIsocoi 7860   ccnf 8004
This theorem is referenced by:  cantnfp1  8026  cantnflem1  8034  cantnflem3  8036  cantnflem4  8037  cantnf  8038  cantnfp1OLD  8052  cantnflem1OLD  8057  cantnflem3OLD  8058  cantnflem4OLD  8059  cantnfOLD  8060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-seqom 7037  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-omul 7059  df-oexp 7060  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-oi 7861  df-cnf 8005
  Copyright terms: Public domain W3C validator