Theorem cantnfle 8111

Description: A lower bound on the function. Since is defined as the sum of over all in the support of , it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all instead of just those in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
cantnfle.c

Assertion

Ref	Expression
cantnfle

Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   S,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cantnfle

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . 3
2	1	sseq1d 3530	. 2
3		cantnfs.b	. . . . . . . . . 10
4		suppssdm 6931	. . . . . . . . . . 11
5		cantnfcl.f	. . . . . . . . . . . . . 14
6		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15
7		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	6, 7, 3	cantnfs 8106	. . . . . . . . . . . . . 14
9	5, 8	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12
11		fdm 5740	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . 11
13	4, 12	syl5sseq 3551	. . . . . . . . . 10
14	3, 13	ssexd 4599	. . . . . . . . 9
15		cantnfcl.g	. . . . . . . . . . 11
16	6, 7, 3, 15, 5	cantnfcl 8107	. . . . . . . . . 10
17	16	simpld 459	. . . . . . . . 9
18	15	oiiso 7983	. . . . . . . . 9
19	14, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . 8
20		isof1o 6221	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7
22	21	adantr 465	. . . . . 6
23		f1ocnv 5833	. . . . . 6
24		f1of 5821	. . . . . 6
25	22, 23, 24	3syl 20	. . . . 5
26		cantnfle.c	. . . . . . 7
27	26	anim1i 568	. . . . . 6
28	10	adantr 465	. . . . . . . 8
29		ffn 5736	. . . . . . . 8
30	28, 29	syl 16	. . . . . . 7
31	3	adantr 465	. . . . . . 7
32		0ex 4582	. . . . . . . 8
33	32	a1i 11	. . . . . . 7
34		elsuppfn 6926	. . . . . . 7
35	30, 31, 33, 34	syl3anc 1228	. . . . . 6
36	27, 35	mpbird 232	. . . . 5
37	25, 36	ffvelrnd 6032	. . . 4
38	16	simprd 463	. . . . . 6
39	38	adantr 465	. . . . 5
40		eqimss 3555	. . . . . . . . . 10
41	40	biantrurd 508	. . . . . . . . 9
42		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
43	41, 42	bitr3d 255	. . . . . . . 8
44		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
45	44	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
46	43, 45	imbi12d 320	. . . . . . 7
47	46	imbi2d 316	. . . . . 6
48		sseq1 3524	. . . . . . . . 9
49		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
50	48, 49	anbi12d 710	. . . . . . . 8
51		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
52	51	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
53	50, 52	imbi12d 320	. . . . . . 7
54		sseq1 3524	. . . . . . . . 9
55		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
56	54, 55	anbi12d 710	. . . . . . . 8
57		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
58	57	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
59	56, 58	imbi12d 320	. . . . . . 7
60		sseq1 3524	. . . . . . . . 9
61		eleq2 2530	. . . . . . . . 9
62	60, 61	anbi12d 710	. . . . . . . 8
63		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
64	63	sseq2d 3531	. . . . . . . 8
65	62, 64	imbi12d 320	. . . . . . 7
66		noel 3788	. . . . . . . . . 10
67	66	pm2.21i 131	. . . . . . . . 9
68	67	adantl 466	. . . . . . . 8
69	68	a1i 11	. . . . . . 7
70		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12
71	70	elsuc 4952	. . . . . . . . . . 11
72		sssucid 4960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73		sstr 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	72, 73	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . 15
78	75, 76, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14
79		cantnfval.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
80	79	cantnfvalf 8105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
81	80	ffvelrni 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82	81	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83	7	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85	13	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
86		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87		sucidg 4961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
88	87	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
89	86, 88	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90	15	oif 7976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
91	90	ffvelrni 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
92	89, 91	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93	85, 92	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95	84, 93, 94	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96		oecl 7206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97	83, 95, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98	10	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99	98, 93	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
100		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101	83, 99, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102		omcl 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103	97, 101, 102	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104		oaword2 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	82, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
106		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108	6, 7, 3, 15, 5, 79	cantnfsuc 8110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	106, 107, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	105, 109	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111		sstr 3511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
112	111	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16
113	110, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	113	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
115	78, 114	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13
116	115	expr 615	. . . . . . . . . . . 12
117		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118	117	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120	22, 36, 119	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121	120	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122	118, 121	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123	122	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	122	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	123, 124	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126		oaword1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127	103, 82, 126	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128	127	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16
129	125, 128	eqsstr3d 3538	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	109	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15
131	129, 130	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . . . . . . 14
132	131	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13
133	132	a1dd 46	. . . . . . . . . . . 12
134	116, 133	jaod 380	. . . . . . . . . . 11
135	71, 134	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10
136	135	expimpd 603	. . . . . . . . 9
137	136	com23 78	. . . . . . . 8
138	137	expcom 435	. . . . . . 7
139	53, 59, 65, 69, 138	finds2 6728	. . . . . 6
140	47, 139	vtoclga 3173	. . . . 5
141	39, 140	mpcom 36	. . . 4
142	37, 141	mpd 15	. . 3
143	6, 7, 3, 15, 5, 79	cantnfval 8108	. . . 4
144	143	adantr 465	. . 3
145	142, 144	sseqtr4d 3540	. 2
146		onelon 4908	. . . . . 6
147	3, 26, 146	syl2anc 661	. . . . 5
148		oecl 7206	. . . . 5
149	7, 147, 148	syl2anc 661	. . . 4
150		om0 7186	. . . 4
151	149, 150	syl 16	. . 3
152		0ss 3814	. . 3
153	151, 152	syl6eqss 3553	. 2
154	2, 145, 153	pm2.61ne 2772	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  cep 4794  Wewwe 4842  con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  csupp 6918  seqomcseqom 7131  coa 7146  comu 7147  coe 7148  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnflem3  8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100