Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfle Unicode version

Theorem cantnfle 8111
 Description: A lower bound on the function. Since is defined as the sum of over all in the support of , it is larger than any of these terms (and all other terms are zero, so we can extend the statement to all instead of just those in the support). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
cantnfle.c
Assertion
Ref Expression
cantnfle
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   S,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cantnfle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . 3
21sseq1d 3530 . 2
3 cantnfs.b . . . . . . . . . 10
4 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . 11
5 cantnfcl.f . . . . . . . . . . . . . 14
6 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15
7 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . 15
86, 7, 3cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . 14
95, 8mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
109simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
11 fdm 5740 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11
134, 12syl5sseq 3551 . . . . . . . . . 10
143, 13ssexd 4599 . . . . . . . . 9
15 cantnfcl.g . . . . . . . . . . 11
166, 7, 3, 15, 5cantnfcl 8107 . . . . . . . . . 10
1716simpld 459 . . . . . . . . 9
1815oiiso 7983 . . . . . . . . 9
1914, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8
20 isof1o 6221 . . . . . . . 8
2119, 20syl 16 . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
23 f1ocnv 5833 . . . . . 6
24 f1of 5821 . . . . . 6
2522, 23, 243syl 20 . . . . 5
26 cantnfle.c . . . . . . 7
2726anim1i 568 . . . . . 6
2810adantr 465 . . . . . . . 8
29 ffn 5736 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
313adantr 465 . . . . . . 7
32 0ex 4582 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7
34 elsuppfn 6926 . . . . . . 7
3530, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . 6
3627, 35mpbird 232 . . . . 5
3725, 36ffvelrnd 6032 . . . 4
3816simprd 463 . . . . . 6
3938adantr 465 . . . . 5
40 eqimss 3555 . . . . . . . . . 10
4140biantrurd 508 . . . . . . . . 9
42 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
4341, 42bitr3d 255 . . . . . . . 8
44 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
4544sseq2d 3531 . . . . . . . 8
4643, 45imbi12d 320 . . . . . . 7
4746imbi2d 316 . . . . . 6
48 sseq1 3524 . . . . . . . . 9
49 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
5048, 49anbi12d 710 . . . . . . . 8
51 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
5251sseq2d 3531 . . . . . . . 8
5350, 52imbi12d 320 . . . . . . 7
54 sseq1 3524 . . . . . . . . 9
55 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
5654, 55anbi12d 710 . . . . . . . 8
57 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
5857sseq2d 3531 . . . . . . . 8
5956, 58imbi12d 320 . . . . . . 7
60 sseq1 3524 . . . . . . . . 9
61 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
6260, 61anbi12d 710 . . . . . . . 8
63 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
6463sseq2d 3531 . . . . . . . 8
6562, 64imbi12d 320 . . . . . . 7
66 noel 3788 . . . . . . . . . 10
6766pm2.21i 131 . . . . . . . . 9
6867adantl 466 . . . . . . . 8
6968a1i 11 . . . . . . 7
70 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
7170elsuc 4952 . . . . . . . . . . 11
72 sssucid 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 73mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . 15
7875, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
79 cantnfval.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8079cantnfvalf 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
837ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
843ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8513ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87 sucidg 4961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8986, 88sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9015oif 7976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9190ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9289, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9385, 92sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9584, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
96 oecl 7206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9783, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9810ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9998, 93ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
100 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10183, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10397, 101, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 oaword2 7221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10582, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1086, 7, 3, 15, 5, 79cantnfsuc 8110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109106, 107, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110105, 109sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 sstr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113110, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
11578, 114syld 44 . . . . . . . . . . . . 13
116115expr 615 . . . . . . . . . . . 12
117 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118117fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12022, 36, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122118, 121eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123122oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124122fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125123, 124oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 oaword1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127103, 82, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129125, 128eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15
130109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15
131129, 130sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14
132131expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
133132a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12
134116, 133jaod 380 . . . . . . . . . . 11
13571, 134syl5bi 217 . . . . . . . . . 10
136135expimpd 603 . . . . . . . . 9
137136com23 78 . . . . . . . 8
138137expcom 435 . . . . . . 7
13953, 59, 65, 69, 138finds2 6728 . . . . . 6
14047, 139vtoclga 3173 . . . . 5
14139, 140mpcom 36 . . . 4
14237, 141mpd 15 . . 3
1436, 7, 3, 15, 5, 79cantnfval 8108 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  succsuc 4885  'ccnv 5003  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem3  8131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100