Theorem cantnflem1b 8126

Description: Lemma for cantnf 8133. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
oemapval.f
oemapval.g
oemapvali.r
oemapvali.x
cantnflem1.o

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1b

Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,   S,,,,,   ,,,,,,   ,O,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,   ,

Proof of Theorem cantnflem1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 757	. . . 4
2		cantnflem1.o	. . . . . . . 8
3	2	oicl 7975	. . . . . . 7
4		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . 12
5		suppssdm 6931	. . . . . . . . . . . . 13
6		oemapval.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16
7		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
8		cantnfs.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9	7, 8, 4	cantnfs 8106	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	6, 9	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14
12		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . 14
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
14	5, 13	syl5sseq 3551	. . . . . . . . . . . 12
15	4, 14	ssexd 4599	. . . . . . . . . . 11
16	7, 8, 4, 2, 6	cantnfcl 8107	. . . . . . . . . . . 12
17	16	simpld 459	. . . . . . . . . . 11
18	2	oiiso 7983	. . . . . . . . . . 11
19	15, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
20		isof1o 6221	. . . . . . . . . 10
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . 9
22		f1ocnv 5833	. . . . . . . . 9
23		f1of 5821	. . . . . . . . 9
24	21, 22, 23	3syl 20	. . . . . . . 8
25		oemapval.t	. . . . . . . . 9
26		oemapval.f	. . . . . . . . 9
27		oemapvali.r	. . . . . . . . 9
28		oemapvali.x	. . . . . . . . 9
29	7, 8, 4, 25, 26, 6, 27, 28	cantnflem1a 8125	. . . . . . . 8
30	24, 29	ffvelrnd 6032	. . . . . . 7
31		ordelon 4907	. . . . . . 7
32	3, 30, 31	sylancr 663	. . . . . 6
33	32	adantr 465	. . . . 5
34	3	a1i 11	. . . . . . . 8
35		ordelon 4907	. . . . . . . 8
36	34, 35	sylan 471	. . . . . . 7
37		sucelon 6652	. . . . . . 7
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . 6
39	38	adantrr 716	. . . . 5
40		ontri1 4917	. . . . 5
41	33, 39, 40	syl2anc 661	. . . 4
42	1, 41	mpbid 210	. . 3
43	19	adantr 465	. . . . . 6
44		ordtr 4897	. . . . . . . 8
45	3, 44	mp1i 12	. . . . . . 7
46		simprl 756	. . . . . . 7
47		trsuc 4967	. . . . . . 7
48	45, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . 6
49	30	adantr 465	. . . . . 6
50		isorel 6222	. . . . . 6
51	43, 48, 49, 50	syl12anc 1226	. . . . 5
52		fvex 5881	. . . . . 6
53	52	epelc 4798	. . . . 5
54		fvex 5881	. . . . . 6
55	54	epelc 4798	. . . . 5
56	51, 53, 55	3bitr3g 287	. . . 4
57		f1ocnvfv2 6183	. . . . . . 7
58	21, 29, 57	syl2anc 661	. . . . . 6
59	58	adantr 465	. . . . 5
60	59	eleq2d 2527	. . . 4
61	56, 60	bitrd 253	. . 3
62	42, 61	mtbid 300	. 2
63	7, 8, 4, 25, 26, 6, 27, 28	oemapvali 8124	. . . . . 6
64	63	simp1d 1008	. . . . 5
65		onelon 4908	. . . . 5
66	4, 64, 65	syl2anc 661	. . . 4
67	66	adantr 465	. . 3
68	4	adantr 465	. . . 4
69	14	adantr 465	. . . . 5
70	2	oif 7976	. . . . . . 7
71	70	ffvelrni 6030	. . . . . 6
72	48, 71	syl 16	. . . . 5
73	69, 72	sseldd 3504	. . . 4
74		onelon 4908	. . . 4
75	68, 73, 74	syl2anc 661	. . 3
76		ontri1 4917	. . 3
77	67, 75, 76	syl2anc 661	. 2
78	62, 77	mpbird 232	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  Trwtr 4545  cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  com 6700  csupp 6918  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnflem1c  8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100