Theorem cantnflem1c 8127

Description: Lemma for cantnf 8133. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
oemapval.f
oemapval.g
oemapvali.r
oemapvali.x
cantnflem1.o

Assertion

Ref	Expression
cantnflem1c

Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,   S,,,,,   ,,,,,,   ,O,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,   ,

Proof of Theorem cantnflem1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.b	. . 3
2	1	ad3antrrr 729	. 2
3		simplr 755	. 2
4		oemapval.g	. . . . . 6
5		cantnfs.s	. . . . . . 7
6		cantnfs.a	. . . . . . 7
7	5, 6, 1	cantnfs 8106	. . . . . 6
8	4, 7	mpbid 210	. . . . 5
9	8	simpld 459	. . . 4
10		ffn 5736	. . . 4
11	9, 10	syl 16	. . 3
12	11	ad3antrrr 729	. 2
13		oemapval.t	. . . . . . 7
14		oemapval.f	. . . . . . 7
15		oemapvali.r	. . . . . . 7
16		oemapvali.x	. . . . . . 7
17	5, 6, 1, 13, 14, 4, 15, 16	oemapvali 8124	. . . . . 6
18	17	simp3d 1010	. . . . 5
19	18	ad3antrrr 729	. . . 4
20		cantnflem1.o	. . . . . . 7
21	5, 6, 1, 13, 14, 4, 15, 16, 20	cantnflem1b 8126	. . . . . 6
22	21	ad2antrr 725	. . . . 5
23		simprr 757	. . . . 5
24	17	simp1d 1008	. . . . . . . 8
25		onelon 4908	. . . . . . . 8
26	1, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . 7
27	26	ad3antrrr 729	. . . . . 6
28		onss 6626	. . . . . . . . . 10
29	1, 28	syl 16	. . . . . . . . 9
30	29	sselda 3503	. . . . . . . 8
31	30	adantlr 714	. . . . . . 7
32	31	adantr 465	. . . . . 6
33		ontr2 4930	. . . . . 6
34	27, 32, 33	syl2anc 661	. . . . 5
35	22, 23, 34	mp2and 679	. . . 4
36		eleq2 2530	. . . . . 6
37		fveq2 5871	. . . . . . 7
38		fveq2 5871	. . . . . . 7
39	37, 38	eqeq12d 2479	. . . . . 6
40	36, 39	imbi12d 320	. . . . 5
41	40	rspcv 3206	. . . 4
42	3, 19, 35, 41	syl3c 61	. . 3
43		simprl 756	. . 3
44	42, 43	eqnetrrd 2751	. 2
45		fvn0elsupp 6934	. 2
46	2, 3, 12, 44, 45	syl22anc 1229	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  cep 4794  con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  csupp 6918  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnflem1  8129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100