MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem1d Unicode version

Theorem cantnflem1d 8128
Description: Lemma for cantnf 8133. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) (Revised by AV, 2-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
oemapval.f
oemapval.g
oemapvali.r
oemapvali.x
cantnflem1.o
cantnflem1.h
Assertion
Ref Expression
cantnflem1d
Distinct variable groups:   , , , , , ,   , , , , , ,   , ,   , , , , ,   S, , , , ,   , , , , , ,   , ,   ,O, , , ,   , , , ,   , , , , ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnflem1d
StepHypRef Expression
1 cantnfs.a . . . . . 6
2 cantnfs.b . . . . . . 7
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9
4 oemapval.t . . . . . . . . 9
5 oemapval.f . . . . . . . . 9
6 oemapval.g . . . . . . . . 9
7 oemapvali.r . . . . . . . . 9
8 oemapvali.x . . . . . . . . 9
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8124 . . . . . . . 8
109simp1d 1008 . . . . . . 7
11 onelon 4908 . . . . . . 7
122, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6
13 oecl 7206 . . . . . 6
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5
153, 1, 2cantnfs 8106 . . . . . . . . 9
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8
1716simpld 459 . . . . . . 7
1817, 10ffvelrnd 6032 . . . . . 6
19 onelon 4908 . . . . . 6
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
21 omcl 7205 . . . . 5
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . 4
23 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . . 12
24 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . 11
272, 26ssexd 4599 . . . . . . . . . 10
28 cantnflem1.o . . . . . . . . . . . 12
293, 1, 2, 28, 6cantnfcl 8107 . . . . . . . . . . 11
3029simpld 459 . . . . . . . . . 10
3128oiiso 7983 . . . . . . . . . 10
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9
33 isof1o 6221 . . . . . . . . 9
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8
35 f1ocnv 5833 . . . . . . . 8
36 f1of 5821 . . . . . . . 8
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1a 8125 . . . . . . 7
3937, 38ffvelrnd 6032 . . . . . 6
4029simprd 463 . . . . . 6
41 elnn 6710 . . . . . 6
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5
43 cantnflem1.h . . . . . . 7
4443cantnfvalf 8105 . . . . . 6
4544ffvelrni 6030 . . . . 5
4642, 45syl 16 . . . 4
47 oaword1 7220 . . . 4
4822, 46, 47syl2anc 661 . . 3
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsuc 8110 . . . . 5
5042, 49mpdan 668 . . . 4
51 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . 8
5234, 38, 51syl2anc 661 . . . . . . 7
5352oveq2d 6312 . . . . . 6
5452fveq2d 5875 . . . . . 6
5553, 54oveq12d 6314 . . . . 5
5655oveq1d 6311 . . . 4
5750, 56eqtrd 2498 . . 3
5848, 57sseqtr4d 3540 . 2
59 onss 6626 . . . . . . . . . . 11
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10
6160sselda 3503 . . . . . . . . 9
6212adantr 465 . . . . . . . . 9
63 onsseleq 4924 . . . . . . . . 9
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8
65 orcom 387 . . . . . . . 8
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7
6766ifbid 3963 . . . . . 6
6867mpteq2dva 4538 . . . . 5
6968fveq2d 5875 . . . 4
703, 1, 2cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . 12
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10
7372ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
74 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . 12
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11
76 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . 12
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10
7978adantr 465 . . . . . . . . 9
8073, 79ifcld 3984 . . . . . . . 8
81 eqid 2457 . . . . . . . 8
8280, 81fmptd 6055 . . . . . . 7
83 0ex 4582 . . . . . . . . 9
8483a1i 11 . . . . . . . 8
8571simprd 463 . . . . . . . 8
8672, 2, 84, 85fsuppmptif 7879 . . . . . . 7
873, 1, 2cantnfs 8106 . . . . . . 7
8882, 86, 87mpbir2and 922 . . . . . 6
8972, 10ffvelrnd 6032 . . . . . 6
90 eldifn 3626 . . . . . . . . 9
9190adantl 466 . . . . . . . 8
9291iffalsed 3952 . . . . . . 7
9392, 2suppss2 6953 . . . . . 6
94 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
9594adantl 466 . . . . . . . . . 10
9695ifeq1da 3971 . . . . . . . . 9
97 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
98 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
9997, 98ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . 11
100 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
101100, 83ifex 4010 . . . . . . . . . . 11
10299, 81, 101fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
103102ifeq2d 3960 . . . . . . . . 9
10496, 103eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
105 ifor 3988 . . . . . . . 8
106104, 105syl6reqr 2517 . . . . . . 7
107106mpteq2ia 4534 . . . . . 6
1083, 1, 2, 88, 10, 89, 93, 107cantnfp1 8121 . . . . 5
109108simprd 463 . . . 4
11069, 109eqtrd 2498 . . 3
111 onelon 4908 . . . . . . 7
1121, 89, 111syl2anc 661 . . . . . 6
113 omsuc 7195 . . . . . 6
11414, 112, 113syl2anc 661 . . . . 5
115 eloni 4893 . . . . . . . 8
11620, 115syl 16 . . . . . . 7
1179simp2d 1009 . . . . . . 7
118 ordsucss 6653 . . . . . . 7
119116, 117, 118sylc 60 . . . . . 6
120 suceloni 6648 . . . . . . . 8
121112, 120syl 16 . . . . . . 7
122 omwordi 7239 . . . . . . 7
123121, 20, 14, 122syl3anc 1228 . . . . . 6
124119, 123mpd 15 . . . . 5
125114, 124eqsstr3d 3538 . . . 4
1263, 1, 2, 88, 78, 12, 93cantnflt2 8113 . . . . 5
127 onelon 4908 . . . . . . 7
12814, 126, 127syl2anc 661 . . . . . 6
129 omcl 7205 . . . . . . 7
13014, 112, 129syl2anc 661 . . . . . 6
131 oaord 7215 . . . . . 6
132128, 14, 130, 131syl3anc 1228 . . . . 5
133126, 132mpbid 210 . . . 4
134125, 133sseldd 3504 . . 3
135110, 134eqeltrd 2545 . 2
13658, 135sseldd 3504 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnflem1  8129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator