Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem1dOLD Unicode version

Theorem cantnflem1dOLD 8151
 Description: Lemma for cantnfOLD 8155. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.) Obsolete version of cantnflem1a 8125 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
oemapvalOLD.3
oemapvalOLD.4
oemapvalOLD.5
oemapvalOLD.6
cantnflem1OLD.o
cantnflem1OLD.h
Assertion
Ref Expression
cantnflem1dOLD
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,   S,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,O,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,   ,

Proof of Theorem cantnflem1dOLD
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.2 . . . . . 6
2 cantnfsOLD.3 . . . . . . 7
3 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . 9
4 oemapvalOLD.t . . . . . . . . 9
5 oemapvalOLD.3 . . . . . . . . 9
6 oemapvalOLD.4 . . . . . . . . 9
7 oemapvalOLD.5 . . . . . . . . 9
8 oemapvalOLD.6 . . . . . . . . 9
93, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8oemapvali 8124 . . . . . . . 8
109simp1d 1008 . . . . . . 7
11 onelon 4908 . . . . . . 7
122, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6
13 oecl 7206 . . . . . 6
141, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5
153, 1, 2cantnfsOLD 8136 . . . . . . . . 9
166, 15mpbid 210 . . . . . . . 8
1716simpld 459 . . . . . . 7
1817, 10ffvelrnd 6032 . . . . . 6
19 onelon 4908 . . . . . 6
201, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
21 omcl 7205 . . . . 5
2214, 20, 21syl2anc 661 . . . 4
23 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . 12
24 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . 11
272, 26ssexd 4599 . . . . . . . . . 10
28 cantnflem1OLD.o . . . . . . . . . . . 12
293, 1, 2, 28, 6cantnfclOLD 8137 . . . . . . . . . . 11
3029simpld 459 . . . . . . . . . 10
3128oiiso 7983 . . . . . . . . . 10
3227, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . 9
33 isof1o 6221 . . . . . . . . 9
3432, 33syl 16 . . . . . . . 8
35 f1ocnv 5833 . . . . . . . 8
36 f1of 5821 . . . . . . . 8
3734, 35, 363syl 20 . . . . . . 7
383, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8cantnflem1aOLD 8148 . . . . . . 7
3937, 38ffvelrnd 6032 . . . . . 6
4029simprd 463 . . . . . 6
41 elnn 6710 . . . . . 6
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . 5
43 cantnflem1OLD.h . . . . . . 7
4443cantnfvalf 8105 . . . . . 6
4544ffvelrni 6030 . . . . 5
4642, 45syl 16 . . . 4
47 oaword1 7220 . . . 4
4822, 46, 47syl2anc 661 . . 3
493, 1, 2, 28, 6, 43cantnfsucOLD 8140 . . . . 5
5042, 49mpdan 668 . . . 4
51 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . 8
5234, 38, 51syl2anc 661 . . . . . . 7
5352oveq2d 6312 . . . . . 6
5452fveq2d 5875 . . . . . 6
5553, 54oveq12d 6314 . . . . 5
5655oveq1d 6311 . . . 4
5750, 56eqtrd 2498 . . 3
5848, 57sseqtr4d 3540 . 2
59 onss 6626 . . . . . . . . . . 11
602, 59syl 16 . . . . . . . . . 10
6160sselda 3503 . . . . . . . . 9
6212adantr 465 . . . . . . . . 9
63 onsseleq 4924 . . . . . . . . 9
6461, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . 8
65 orcom 387 . . . . . . . 8
6664, 65syl6bb 261 . . . . . . 7
6766ifbid 3963 . . . . . 6
6867mpteq2dva 4538 . . . . 5
6968fveq2d 5875 . . . 4
703, 1, 2cantnfsOLD 8136 . . . . . . . . . . . 12
715, 70mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
7271simpld 459 . . . . . . . . . 10
7372ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9
74 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . 12
7518, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11
76 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . 12
771, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11
7875, 77mpbird 232 . . . . . . . . . 10
7978adantr 465 . . . . . . . . 9
80 ifcl 3983 . . . . . . . . 9
8173, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8
82 eqid 2457 . . . . . . . 8
8381, 82fmptd 6055 . . . . . . 7
8471simprd 463 . . . . . . . 8
85 df1o2 7161 . . . . . . . . . . 11
8685difeq2i 3618 . . . . . . . . . 10
8786imaeq2i 5340 . . . . . . . . 9
8886imaeq2i 5340 . . . . . . . . . . . . . 14
89 eqimss2 3556 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
9172, 90suppssrOLD 6021 . . . . . . . . . . . 12
9291ifeq1d 3959 . . . . . . . . . . 11
93 ifid 3978 . . . . . . . . . . 11
9492, 93syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
9594suppss2OLD 6530 . . . . . . . . 9
9687, 95syl5eqss 3547 . . . . . . . 8
97 ssfi 7760 . . . . . . . 8
9884, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . 7
993, 1, 2cantnfsOLD 8136 . . . . . . 7
10083, 98, 99mpbir2and 922 . . . . . 6
10172, 10ffvelrnd 6032 . . . . . 6
102 eldifn 3626 . . . . . . . . . 10
103102adantl 466 . . . . . . . . 9
104 iffalse 3950 . . . . . . . . 9
105103, 104syl 16 . . . . . . . 8
106105suppss2OLD 6530 . . . . . . 7
10787, 106syl5eqss 3547 . . . . . 6
108 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
109108adantl 466 . . . . . . . . . 10
110109ifeq1da 3971 . . . . . . . . 9
111 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
112 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
113111, 112ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . 11
114 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
115 0ex 4582 . . . . . . . . . . . 12
116114, 115ifex 4010 . . . . . . . . . . 11
117113, 82, 116fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10
118117ifeq2d 3960 . . . . . . . . 9
119110, 118eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
120 ifor 3988 . . . . . . . 8
121119, 120syl6reqr 2517 . . . . . . 7
122121mpteq2ia 4534 . . . . . 6
1233, 1, 2, 100, 10, 101, 107, 122cantnfp1OLD 8147 . . . . 5
124123simprd 463 . . . 4
12569, 124eqtrd 2498 . . 3
126 onelon 4908 . . . . . . 7
1271, 101, 126syl2anc 661 . . . . . 6
128 omsuc 7195 . . . . . 6
12914, 127, 128syl2anc 661 . . . . 5
130 eloni 4893 . . . . . . . 8
13120, 130syl 16 . . . . . . 7
1329simp2d 1009 . . . . . . 7
133 ordsucss 6653 . . . . . . 7
134131, 132, 133sylc 60 . . . . . 6
135 suceloni 6648 . . . . . . . 8
136127, 135syl 16 . . . . . . 7
137 omwordi 7239 . . . . . . 7
138136, 20, 14, 137syl3anc 1228 . . . . . 6
139134, 138mpd 15 . . . . 5
140129, 139eqsstr3d 3538 . . . 4
1413, 1, 2, 100, 78, 12, 107cantnflt2OLD 8143 . . . . 5
142 onelon 4908 . . . . . . 7
14314, 141, 142syl2anc 661 . . . . . 6
144 omcl 7205 . . . . . . 7
14514, 127, 144syl2anc 661 . . . . . 6
146 oaord 7215 . . . . . 6
147143, 14, 145, 146syl3anc 1228 . . . . 5
148141, 147mpbid 210 . . . 4
149140, 148sseldd 3504 . . 3
150125, 149eqeltrd 2545 . 2
15158, 150sseldd 3504 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfn 7536  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem1OLD  8152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator