Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem3 Unicode version

Theorem cantnflem3 8131
 Description: Lemma for cantnf 8133. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than has a normal form, we can use oeeu 7271 to factor into the form where 0 A and (and a fortiori ). Then since (A ) (A ) , has a normal form, and by appending the term using cantnfp1 8121 we get a normal form for . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
cantnf.c
cantnf.s
cantnf.e
cantnf.x
cantnf.p
cantnf.y
cantnf.z
cantnf.g
cantnf.v
cantnf.f
Assertion
Ref Expression
cantnflem3
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,   ,,,,   S,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,

Proof of Theorem cantnflem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . . . 5
2 cantnfs.a . . . . 5
3 cantnfs.b . . . . 5
4 cantnf.g . . . . 5
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . . 14
6 cantnf.c . . . . . . . . . . . . . 14
7 cantnf.s . . . . . . . . . . . . . 14
8 cantnf.e . . . . . . . . . . . . . 14
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 8130 . . . . . . . . . . . . 13
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1310, 11, 123pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14
14 cantnf.x . . . . . . . . . . . . . . 15
15 cantnf.p . . . . . . . . . . . . . . 15
16 cantnf.y . . . . . . . . . . . . . . 15
17 cantnf.z . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 15, 16, 17oeeui 7270 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 18mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2120simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2221simp1d 1008 . . . . . . . . . 10
23 oecl 7206 . . . . . . . . . 10
242, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2521simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11
2625eldifad 3487 . . . . . . . . . 10
27 onelon 4908 . . . . . . . . . 10
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9
29 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . 12
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
32 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . 11
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . . 9
35 omword1 7241 . . . . . . . . 9
3624, 28, 34, 35syl21anc 1227 . . . . . . . 8
37 omcl 7205 . . . . . . . . . . 11
3824, 28, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3921simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11
40 onelon 4908 . . . . . . . . . . 11
4124, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
42 oaword1 7220 . . . . . . . . . 10
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4420simprd 463 . . . . . . . . 9
4543, 44sseqtrd 3539 . . . . . . . 8
4636, 45sstrd 3513 . . . . . . 7
47 oecl 7206 . . . . . . . . 9
482, 3, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8
49 ontr2 4930 . . . . . . . 8
5024, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7
5146, 6, 50mp2and 679 . . . . . 6
529simpld 459 . . . . . . 7
53 oeord 7256 . . . . . . 7
5422, 3, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . 6
5551, 54mpbird 232 . . . . 5
562adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
573adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
58 suppssdm 6931 . . . . . . . . . . . . . . 15
591, 2, 3cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
604, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6458, 63syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . 14
6564sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
66 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
6757, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
68 oecl 7206 . . . . . . . . . . . 12
6956, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7061adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7170, 65ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12
72 onelon 4908 . . . . . . . . . . . 12
7356, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
74 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15
7561, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
76 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
78 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . . . . . 14
7975, 3, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
8079simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12
81 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . 13
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
84 omword1 7241 . . . . . . . . . . 11
8569, 73, 83, 84syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10
86 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
88 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfle 8111 . . . . . . . . . . 11
90 cantnf.v . . . . . . . . . . . 12
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9289, 91sseqtrd 3539 . . . . . . . . . 10
9385, 92sstrd 3513 . . . . . . . . 9
9439adantr 465 . . . . . . . . 9
9524adantr 465 . . . . . . . . . 10
96 ontr2 4930 . . . . . . . . . 10
9769, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9893, 94, 97mp2and 679 . . . . . . . 8
9922adantr 465 . . . . . . . . 9
10052adantr 465 . . . . . . . . 9
101 oeord 7256 . . . . . . . . 9
10267, 99, 100, 101syl3anc 1228 . . . . . . . 8
10398, 102mpbird 232 . . . . . . 7
104103ex 434 . . . . . 6
105104ssrdv 3509 . . . . 5
106 cantnf.f . . . . 5
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1 8121 . . . 4
108107simprd 463 . . 3
10990oveq2d 6312 . . 3
110108, 109, 443eqtrd 2502 . 2
1111, 2, 3cantnff 8114 . . . 4
112 ffn 5736 . . . 4
113111, 112syl 16 . . 3
114107simpld 459 . . 3
115 fnfvelrn 6028 . . 3
116113, 114, 115syl2anc 661 . 2
117110, 116eqeltrrd 2546 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799   csupp 6918  seqomcseqom 7131   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIso`coi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem4  8132 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator