Theorem cantnflem3 8131

Description: Lemma for cantnf 8133. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than has a normal form, we can use oeeu 7271 to factor into the form where 0A and (and a fortiori ). Then since (A)(A), has a normal form, and by appending the term using cantnfp1 8121 we get a normal form for . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
cantnf.c
cantnf.s
cantnf.e
cantnf.x
cantnf.p
cantnf.y
cantnf.z
cantnf.g
cantnf.v
cantnf.f

Assertion

Ref	Expression
cantnflem3

Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,   ,,,,   S,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,

Proof of Theorem cantnflem3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . . 5
2		cantnfs.a	. . . . 5
3		cantnfs.b	. . . . 5
4		cantnf.g	. . . . 5
5		oemapval.t	. . . . . . . . . . . . . 14
6		cantnf.c	. . . . . . . . . . . . . 14
7		cantnf.s	. . . . . . . . . . . . . 14
8		cantnf.e	. . . . . . . . . . . . . 14
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	cantnflem2 8130	. . . . . . . . . . . . 13
10		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
11		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	10, 11, 12	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . . . . . . 14
14		cantnf.x	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		cantnf.p	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		cantnf.y	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		cantnf.z	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	14, 15, 16, 17	oeeui 7270	. . . . . . . . . . . . . 14
19	13, 18	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . 13
20	9, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
21	20	simpld 459	. . . . . . . . . . 11
22	21	simp1d 1008	. . . . . . . . . 10
23		oecl 7206	. . . . . . . . . 10
24	2, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
25	21	simp2d 1009	. . . . . . . . . . 11
26	25	eldifad 3487	. . . . . . . . . 10
27		onelon 4908	. . . . . . . . . 10
28	2, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
29		dif1o 7169	. . . . . . . . . . . 12
30	29	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11
31	25, 30	syl 16	. . . . . . . . . 10
32		on0eln0 4938	. . . . . . . . . . 11
33	28, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10
34	31, 33	mpbird 232	. . . . . . . . 9
35		omword1 7241	. . . . . . . . 9
36	24, 28, 34, 35	syl21anc 1227	. . . . . . . 8
37		omcl 7205	. . . . . . . . . . 11
38	24, 28, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
39	21	simp3d 1010	. . . . . . . . . . 11
40		onelon 4908	. . . . . . . . . . 11
41	24, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
42		oaword1 7220	. . . . . . . . . 10
43	38, 41, 42	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
44	20	simprd 463	. . . . . . . . 9
45	43, 44	sseqtrd 3539	. . . . . . . 8
46	36, 45	sstrd 3513	. . . . . . 7
47		oecl 7206	. . . . . . . . 9
48	2, 3, 47	syl2anc 661	. . . . . . . 8
49		ontr2 4930	. . . . . . . 8
50	24, 48, 49	syl2anc 661	. . . . . . 7
51	46, 6, 50	mp2and 679	. . . . . 6
52	9	simpld 459	. . . . . . 7
53		oeord 7256	. . . . . . 7
54	22, 3, 52, 53	syl3anc 1228	. . . . . 6
55	51, 54	mpbird 232	. . . . 5
56	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
57	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
58		suppssdm 6931	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	1, 2, 3	cantnfs 8106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60	4, 59	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		fdm 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	61, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	58, 63	syl5sseq 3551	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	sselda 3503	. . . . . . . . . . . . 13
66		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
67	57, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
68		oecl 7206	. . . . . . . . . . . 12
69	56, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
70	61	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
71	70, 65	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . 12
72		onelon 4908	. . . . . . . . . . . 12
73	56, 71, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
74		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	61, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
76		0ex 4582	. . . . . . . . . . . . . . 15
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
78		elsuppfn 6926	. . . . . . . . . . . . . 14
79	75, 3, 77, 78	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13
80	79	simplbda 624	. . . . . . . . . . . 12
81		on0eln0 4938	. . . . . . . . . . . . 13
82	73, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
83	80, 82	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11
84		omword1 7241	. . . . . . . . . . 11
85	69, 73, 83, 84	syl21anc 1227	. . . . . . . . . 10
86		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
87	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
88		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
89	1, 56, 57, 86, 87, 88, 65	cantnfle 8111	. . . . . . . . . . 11
90		cantnf.v	. . . . . . . . . . . 12
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
92	89, 91	sseqtrd 3539	. . . . . . . . . 10
93	85, 92	sstrd 3513	. . . . . . . . 9
94	39	adantr 465	. . . . . . . . 9
95	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10
96		ontr2 4930	. . . . . . . . . 10
97	69, 95, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
98	93, 94, 97	mp2and 679	. . . . . . . 8
99	22	adantr 465	. . . . . . . . 9
100	52	adantr 465	. . . . . . . . 9
101		oeord 7256	. . . . . . . . 9
102	67, 99, 100, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
103	98, 102	mpbird 232	. . . . . . 7
104	103	ex 434	. . . . . 6
105	104	ssrdv 3509	. . . . 5
106		cantnf.f	. . . . 5
107	1, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106	cantnfp1 8121	. . . 4
108	107	simprd 463	. . 3
109	90	oveq2d 6312	. . 3
110	108, 109, 44	3eqtrd 2502	. 2
111	1, 2, 3	cantnff 8114	. . . 4
112		ffn 5736	. . . 4
113	111, 112	syl 16	. . 3
114	107	simpld 459	. . 3
115		fnfvelrn 6028	. . 3
116	113, 114, 115	syl2anc 661	. 2
117	110, 116	eqeltrrd 2546	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  cep 4794  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  c1st 6798  c2nd 6799  csupp 6918  seqomcseqom 7131  c1o 7142  c2o 7143  coa 7146  comu 7147  coe 7148  cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnflem4  8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100