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Theorem cantnflem3OLD 8153
 Description: Lemma for cantnfOLD 8155. Here we show existence of Cantor normal forms. Assuming (by transfinite induction) that every number less than has a normal form, we can use oeeu 7271 to factor into the form where 0 A and (and a fortiori ). Then since (A ) (A ) , has a normal form, and by appending the term using cantnfp1OLD 8147 we get a normal form for . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnflem3 8131 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
cantnfOLD.1
cantnfOLD.2
cantnfOLD.3
cantnfOLD.4
cantnfOLD.5
cantnfOLD.6
cantnfOLD.7
cantnfOLD.8
cantnfOLD.9
cantnfOLD.f
Assertion
Ref Expression
cantnflem3OLD
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,   ,,,,   S,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,

Proof of Theorem cantnflem3OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfsOLD.1 . . . . 5
2 cantnfsOLD.2 . . . . 5
3 cantnfsOLD.3 . . . . 5
4 cantnfOLD.8 . . . . 5
5 oemapvalOLD.t . . . . . . . . . . . . . 14
6 cantnfOLD.1 . . . . . . . . . . . . . 14
7 cantnfOLD.2 . . . . . . . . . . . . . 14
8 cantnfOLD.3 . . . . . . . . . . . . . 14
91, 2, 3, 5, 6, 7, 8cantnflem2 8130 . . . . . . . . . . . . 13
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
11 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
1310, 11, 123pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14
14 cantnfOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 cantnfOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 cantnfOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 cantnfOLD.7 . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 15, 16, 17oeeui 7270 . . . . . . . . . . . . . 14
1913, 18mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13
209, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2120simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2221simp1d 1008 . . . . . . . . . 10
23 oecl 7206 . . . . . . . . . 10
242, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2521simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11
2625eldifad 3487 . . . . . . . . . 10
27 onelon 4908 . . . . . . . . . 10
282, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9
29 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . 12
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
32 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . 11
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . . 9
35 omword1 7241 . . . . . . . . 9
3624, 28, 34, 35syl21anc 1227 . . . . . . . 8
37 omcl 7205 . . . . . . . . . . 11
3824, 28, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3921simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11
40 onelon 4908 . . . . . . . . . . 11
4124, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
42 oaword1 7220 . . . . . . . . . 10
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4420simprd 463 . . . . . . . . 9
4543, 44sseqtrd 3539 . . . . . . . 8
4636, 45sstrd 3513 . . . . . . 7
47 oecl 7206 . . . . . . . . 9
482, 3, 47syl2anc 661 . . . . . . . 8
49 ontr2 4930 . . . . . . . 8
5024, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . 7
5146, 6, 50mp2and 679 . . . . . 6
529simpld 459 . . . . . . 7
53 oeord 7256 . . . . . . 7
5422, 3, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . 6
5551, 54mpbird 232 . . . . 5
562adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
573adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
58 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . . . . 15
591, 2, 3cantnfsOLD 8136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
604, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6458, 63syl5sseq 3551 . . . . . . . . . . . . . 14
6564sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
66 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
6757, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
68 oecl 7206 . . . . . . . . . . . 12
6956, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
7061adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
7170, 65ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . 12
72 onelon 4908 . . . . . . . . . . . 12
7356, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
74 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . . 15
7661, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14
7776simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13
78 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . . . 14
7978simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12
81 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . 13
8273, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
84 omword1 7241 . . . . . . . . . . 11
8569, 73, 83, 84syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10
86 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
874adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
88 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
891, 56, 57, 86, 87, 88, 65cantnfleOLD 8141 . . . . . . . . . . 11
90 cantnfOLD.9 . . . . . . . . . . . 12
9190adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9289, 91sseqtrd 3539 . . . . . . . . . 10
9385, 92sstrd 3513 . . . . . . . . 9
9439adantr 465 . . . . . . . . 9
9524adantr 465 . . . . . . . . . 10
96 ontr2 4930 . . . . . . . . . 10
9769, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9893, 94, 97mp2and 679 . . . . . . . 8
9922adantr 465 . . . . . . . . 9
10052adantr 465 . . . . . . . . 9
101 oeord 7256 . . . . . . . . 9
10267, 99, 100, 101syl3anc 1228 . . . . . . . 8
10398, 102mpbird 232 . . . . . . 7
104103ex 434 . . . . . 6
105104ssrdv 3509 . . . . 5
106 cantnfOLD.f . . . . 5
1071, 2, 3, 4, 55, 26, 105, 106cantnfp1OLD 8147 . . . 4
108107simprd 463 . . 3
10990oveq2d 6312 . . 3
110108, 109, 443eqtrd 2502 . 2
1111, 2, 3cantnff 8114 . . . 4
112 ffn 5736 . . . 4
113111, 112syl 16 . . 3
114107simpld 459 . . 3
115 fnfvelrn 6028 . . 3
116113, 114, 115syl2anc 661 . 2
117110, 116eqeltrrd 2546 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286  {copab 4509  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   c1st 6798   c2nd 6799  seqomcseqom 7131   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfn 7536  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem4OLD  8154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
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