MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnflem4 Unicode version

Theorem cantnflem4 8132
Description: Lemma for cantnf 8133. Complete the induction step of cantnflem3 8131. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
oemapval.t
cantnf.c
cantnf.s
cantnf.e
cantnf.x
cantnf.p
cantnf.y
cantnf.z
Assertion
Ref Expression
cantnflem4
Distinct variable groups:   , , , , ,   , , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,   S, , , ,   , , ,   , , ,   , , , ,   , , , , , , ,

Proof of Theorem cantnflem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnf.s . . . 4
2 cantnfs.a . . . . . . . . 9
3 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . 13
4 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13
5 oemapval.t . . . . . . . . . . . . 13
6 cantnf.c . . . . . . . . . . . . 13
7 cantnf.e . . . . . . . . . . . . 13
83, 2, 4, 5, 6, 1, 7cantnflem2 8130 . . . . . . . . . . . 12
9 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
11 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
129, 10, 113pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . 13
13 cantnf.x . . . . . . . . . . . . . 14
14 cantnf.p . . . . . . . . . . . . . 14
15 cantnf.y . . . . . . . . . . . . . 14
16 cantnf.z . . . . . . . . . . . . . 14
1713, 14, 15, 16oeeui 7270 . . . . . . . . . . . . 13
1812, 17mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12
198, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019simpld 459 . . . . . . . . . 10
2120simp1d 1008 . . . . . . . . 9
22 oecl 7206 . . . . . . . . 9
232, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8
2420simp2d 1009 . . . . . . . . . 10
2524eldifad 3487 . . . . . . . . 9
26 onelon 4908 . . . . . . . . 9
272, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8
28 omcl 7205 . . . . . . . 8
2923, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . 7
3020simp3d 1010 . . . . . . . 8
31 onelon 4908 . . . . . . . 8
3223, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . 7
33 oaword1 7220 . . . . . . 7
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6
35 dif1o 7169 . . . . . . . . . . 11
3635simprbi 464 . . . . . . . . . 10
3724, 36syl 16 . . . . . . . . 9
38 on0eln0 4938 . . . . . . . . . 10
3927, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4037, 39mpbird 232 . . . . . . . 8
41 omword1 7241 . . . . . . . 8
4223, 27, 40, 41syl21anc 1227 . . . . . . 7
4342, 30sseldd 3504 . . . . . 6
4434, 43sseldd 3504 . . . . 5
4519simprd 463 . . . . 5
4644, 45eleqtrd 2547 . . . 4
471, 46sseldd 3504 . . 3
483, 2, 4cantnff 8114 . . . 4
49 ffn 5736 . . . 4
50 fvelrnb 5920 . . . 4
5148, 49, 503syl 20 . . 3
5247, 51mpbid 210 . 2
532adantr 465 . . 3
544adantr 465 . . 3
556adantr 465 . . 3
561adantr 465 . . 3
577adantr 465 . . 3
58 simprl 756 . . 3
59 simprr 757 . . 3
60 eqid 2457 . . 3
613, 53, 54, 5, 55, 56, 57, 13, 14, 15, 16, 58, 59, 60cantnflem3 8131 . 2
6252, 61rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286  {copab 4509  e.cmpt 4510   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   c1o 7142   c2o 7143   coa 7146   comu 7147   coe 7148   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnf  8133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator