Theorem cantnflem4OLD 8154

Description: Lemma for cantnfOLD 8155. Complete the induction step of cantnflem3OLD 8153. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) Obsolete version of cantnflem4 8132 as of 2-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
oemapvalOLD.t
cantnfOLD.1
cantnfOLD.2
cantnfOLD.3
cantnfOLD.4
cantnfOLD.5
cantnfOLD.6
cantnfOLD.7

Assertion

Ref	Expression
cantnflem4OLD

Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   S,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,,,,

Proof of Theorem cantnflem4OLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfOLD.2	. . . 4
2		cantnfsOLD.2	. . . . . . . . 9
3		cantnfsOLD.1	. . . . . . . . . . . . 13
4		cantnfsOLD.3	. . . . . . . . . . . . 13
5		oemapvalOLD.t	. . . . . . . . . . . . 13
6		cantnfOLD.1	. . . . . . . . . . . . 13
7		cantnfOLD.3	. . . . . . . . . . . . 13
8	3, 2, 4, 5, 6, 1, 7	cantnflem2 8130	. . . . . . . . . . . 12
9		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
10		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
11		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
12	9, 10, 11	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . . . . . 13
13		cantnfOLD.4	. . . . . . . . . . . . . 14
14		cantnfOLD.5	. . . . . . . . . . . . . 14
15		cantnfOLD.6	. . . . . . . . . . . . . 14
16		cantnfOLD.7	. . . . . . . . . . . . . 14
17	13, 14, 15, 16	oeeui 7270	. . . . . . . . . . . . 13
18	12, 17	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . 12
19	8, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11
20	19	simpld 459	. . . . . . . . . 10
21	20	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
22		oecl 7206	. . . . . . . . 9
23	2, 21, 22	syl2anc 661	. . . . . . . 8
24	20	simp2d 1009	. . . . . . . . . 10
25	24	eldifad 3487	. . . . . . . . 9
26		onelon 4908	. . . . . . . . 9
27	2, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . 8
28		omcl 7205	. . . . . . . 8
29	23, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . 7
30	20	simp3d 1010	. . . . . . . 8
31		onelon 4908	. . . . . . . 8
32	23, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . 7
33		oaword1 7220	. . . . . . 7
34	29, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . 6
35		dif1o 7169	. . . . . . . . . . 11
36	35	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
37	24, 36	syl 16	. . . . . . . . 9
38		on0eln0 4938	. . . . . . . . . 10
39	27, 38	syl 16	. . . . . . . . 9
40	37, 39	mpbird 232	. . . . . . . 8
41		omword1 7241	. . . . . . . 8
42	23, 27, 40, 41	syl21anc 1227	. . . . . . 7
43	42, 30	sseldd 3504	. . . . . 6
44	34, 43	sseldd 3504	. . . . 5
45	19	simprd 463	. . . . 5
46	44, 45	eleqtrd 2547	. . . 4
47	1, 46	sseldd 3504	. . 3
48	3, 2, 4	cantnff 8114	. . . 4
49		ffn 5736	. . . 4
50		fvelrnb 5920	. . . 4
51	48, 49, 50	3syl 20	. . 3
52	47, 51	mpbid 210	. 2
53	2	adantr 465	. . 3
54	4	adantr 465	. . 3
55	6	adantr 465	. . 3
56	1	adantr 465	. . 3
57	7	adantr 465	. . 3
58		simprl 756	. . 3
59		simprr 757	. . 3
60		eqid 2457	. . 3
61	3, 53, 54, 5, 55, 56, 57, 13, 14, 15, 16, 58, 59, 60	cantnflem3OLD 8153	. 2
62	52, 61	rexlimddv 2953	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286  {copab 4509  e.cmpt 4510  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  iotacio 5554  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  c1o 7142  c2o 7143  coa 7146  comu 7147  coe 7148  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfOLD  8155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100