MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Unicode version

Theorem cantnfp1 8121
Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfp1.g
cantnfp1.x
cantnfp1.y
cantnfp1.s
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6
2 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13
3 cantnfp1.x . . . . . . . . . . . . 13
4 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
7 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . 12
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11
9 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
10 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . 13
12 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1513, 14, 2cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1612, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2319, 2, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2411bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2723, 26bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cantnfp1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 29sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
313, 30mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
3211, 31syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
3332necon1bd 2675 . . . . . . . . . . 11
348, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
36 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
38 simpllr 760 . . . . . . . . 9
3935, 37, 383eqtr4rd 2509 . . . . . . . 8
40 eqidd 2458 . . . . . . . 8
4139, 40ifeqda 3974 . . . . . . 7
4241mpteq2dva 4538 . . . . . 6
431, 42syl5eq 2510 . . . . 5
4417feqmptd 5926 . . . . . 6
4544adantr 465 . . . . 5
4643, 45eqtr4d 2501 . . . 4
4712adantr 465 . . . 4
4846, 47eqeltrd 2545 . . 3
49 oecl 7206 . . . . . . . 8
5014, 2, 49syl2anc 661 . . . . . . 7
5113, 14, 2cantnff 8114 . . . . . . . 8
5251, 12ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
53 onelon 4908 . . . . . . 7
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . . . 6
5554adantr 465 . . . . 5
56 oa0r 7207 . . . . 5
5755, 56syl 16 . . . 4
58 oveq2 6304 . . . . . 6
59 oecl 7206 . . . . . . . 8
6014, 5, 59syl2anc 661 . . . . . . 7
61 om0 7186 . . . . . . 7
6260, 61syl 16 . . . . . 6
6358, 62sylan9eqr 2520 . . . . 5
6463oveq1d 6311 . . . 4
6546fveq2d 5875 . . . 4
6657, 64, 653eqtr4rd 2509 . . 3
6748, 66jca 532 . 2
6814adantr 465 . . . 4
692adantr 465 . . . 4
7012adantr 465 . . . 4
713adantr 465 . . . 4
72 cantnfp1.y . . . . 5
7372adantr 465 . . . 4
7428adantr 465 . . . 4
7513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1cantnfp1lem1 8118 . . 3
76 onelon 4908 . . . . . . 7
7714, 72, 76syl2anc 661 . . . . . 6
78 on0eln0 4938 . . . . . 6
7977, 78syl 16 . . . . 5
8079biimpar 485 . . . 4
81 eqid 2457 . . . 4
82 eqid 2457 . . . 4
83 eqid 2457 . . . 4
84 eqid 2457 . . . 4
8513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1, 80, 81, 82, 83, 84cantnfp1lem3 8120 . . 3
8675, 85jca 532 . 2
8767, 86pm2.61dane 2775 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   csupp 6918  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator