Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1 Unicode version

Theorem cantnfp1 8121
 Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfp1.g
cantnfp1.x
cantnfp1.y
cantnfp1.s
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.f . . . . . 6
2 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . 13
3 cantnfp1.x . . . . . . . . . . . . 13
4 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
6 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
7 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . 12
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11
9 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
10 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . 13
12 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14 cantnfs.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1513, 14, 2cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1612, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 0ex 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 elsuppfn 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2319, 2, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2411bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2723, 26bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cantnfp1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 29sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
313, 30mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
3211, 31syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
3332necon1bd 2675 . . . . . . . . . . 11
348, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
36 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
38 simpllr 760 . . . . . . . . 9
3935, 37, 383eqtr4rd 2509 . . . . . . . 8
40 eqidd 2458 . . . . . . . 8
4139, 40ifeqda 3974 . . . . . . 7
4241mpteq2dva 4538 . . . . . 6
431, 42syl5eq 2510 . . . . 5
4417feqmptd 5926 . . . . . 6
4544adantr 465 . . . . 5
4643, 45eqtr4d 2501 . . . 4
4712adantr 465 . . . 4
4846, 47eqeltrd 2545 . . 3
49 oecl 7206 . . . . . . . 8
5014, 2, 49syl2anc 661 . . . . . . 7
5113, 14, 2cantnff 8114 . . . . . . . 8
5251, 12ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
53 onelon 4908 . . . . . . 7
5450, 52, 53syl2anc 661 . . . . . 6
5554adantr 465 . . . . 5
56 oa0r 7207 . . . . 5
5755, 56syl 16 . . . 4
58 oveq2 6304 . . . . . 6
59 oecl 7206 . . . . . . . 8
6014, 5, 59syl2anc 661 . . . . . . 7
61 om0 7186 . . . . . . 7
6260, 61syl 16 . . . . . 6
6358, 62sylan9eqr 2520 . . . . 5
6463oveq1d 6311 . . . 4
6546fveq2d 5875 . . . 4
6657, 64, 653eqtr4rd 2509 . . 3
6748, 66jca 532 . 2
6814adantr 465 . . . 4
692adantr 465 . . . 4
7012adantr 465 . . . 4
713adantr 465 . . . 4
72 cantnfp1.y . . . . 5
7372adantr 465 . . . 4
7428adantr 465 . . . 4
7513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1cantnfp1lem1 8118 . . 3
76 onelon 4908 . . . . . . 7
7714, 72, 76syl2anc 661 . . . . . 6
78 on0eln0 4938 . . . . . 6
7977, 78syl 16 . . . . 5
8079biimpar 485 . . . 4
81 eqid 2457 . . . 4
82 eqid 2457 . . . 4
83 eqid 2457 . . . 4
84 eqid 2457 . . . 4
8513, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 1, 80, 81, 82, 83, 84cantnfp1lem3 8120 . . 3
8675, 85jca 532 . 2
8767, 86pm2.61dane 2775 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   csupp 6918  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfsupp 7849  OrdIso`coi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator