Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1OLD Unicode version

Theorem cantnfp1OLD 8147
 Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnfp1 8121 as of 1-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfp1OLD.4
cantnfp1OLD.5
cantnfp1OLD.6
cantnfp1OLD.7
cantnfp1OLD.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1OLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1OLD.f . . . . . 6
2 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
3 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
4 cantnfsOLD.3 . . . . . . . . . . . . 13
5 cantnfp1OLD.5 . . . . . . . . . . . . 13
6 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
8 eloni 4893 . . . . . . . . . . . 12
9 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . 12
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . 11
11 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14
12 dif1o 7169 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . 13
14 cantnfp1OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15 cantnfsOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16 cantnfsOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1715, 16, 4cantnfsOLD 8136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1814, 17mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 cantnfp1OLD.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 24sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
265, 25mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
2713, 26syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
2827necon1bd 2675 . . . . . . . . . . 11
2910, 28mpd 15 . . . . . . . . . 10
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
31 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3231fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
33 simpllr 760 . . . . . . . . 9
3430, 32, 333eqtr4rd 2509 . . . . . . . 8
35 eqidd 2458 . . . . . . . 8
362, 3, 34, 35ifbothda 3976 . . . . . . 7
3736mpteq2dva 4538 . . . . . 6
381, 37syl5eq 2510 . . . . 5
3919feqmptd 5926 . . . . . 6
4039adantr 465 . . . . 5
4138, 40eqtr4d 2501 . . . 4
4214adantr 465 . . . 4
4341, 42eqeltrd 2545 . . 3
44 oecl 7206 . . . . . . . 8
4516, 4, 44syl2anc 661 . . . . . . 7
4615, 16, 4cantnff 8114 . . . . . . . 8
4746, 14ffvelrnd 6032 . . . . . . 7
48 onelon 4908 . . . . . . 7
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . 6
5049adantr 465 . . . . 5
51 oa0r 7207 . . . . 5
5250, 51syl 16 . . . 4
53 oveq2 6304 . . . . . 6
54 oecl 7206 . . . . . . . 8
5516, 7, 54syl2anc 661 . . . . . . 7
56 om0 7186 . . . . . . 7
5755, 56syl 16 . . . . . 6
5853, 57sylan9eqr 2520 . . . . 5
5958oveq1d 6311 . . . 4
6041fveq2d 5875 . . . 4
6152, 59, 603eqtr4rd 2509 . . 3
6243, 61jca 532 . 2
6316adantr 465 . . . 4
644adantr 465 . . . 4
6514adantr 465 . . . 4
665adantr 465 . . . 4
67 cantnfp1OLD.6 . . . . 5
6867adantr 465 . . . 4
6923adantr 465 . . . 4
7015, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1cantnfp1lem1OLD 8144 . . 3
71 onelon 4908 . . . . . . 7
7216, 67, 71syl2anc 661 . . . . . 6
73 on0eln0 4938 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
7574biimpar 485 . . . 4
76 eqid 2457 . . . 4
77 eqid 2457 . . . 4
78 eqid 2457 . . . 4
79 eqid 2457 . . . 4
8015, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1, 75, 76, 77, 78, 79cantnfp1lem3OLD 8146 . . 3
8170, 80jca 532 . 2
8262, 81pm2.61dane 2775 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  e.cmpt 4510   cep 4794  Ordword 4882   con0 4883  'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  seqomcseqom 7131   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cfn 7536  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator