Theorem cantnfp1OLD 8147

Description: If is created by adding a single term to , where is larger than any element of the support of , then is also a finitely supported function and it is assigned the value where is the value of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnfp1 8121 as of 1-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfp1OLD.4
cantnfp1OLD.5
cantnfp1OLD.6
cantnfp1OLD.7
cantnfp1OLD.f

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1OLD

Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1OLD

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1OLD.f	. . . . . 6
2		eqeq1 2461	. . . . . . . 8
3		eqeq1 2461	. . . . . . . 8
4		cantnfsOLD.3	. . . . . . . . . . . . 13
5		cantnfp1OLD.5	. . . . . . . . . . . . 13
6		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
7	4, 5, 6	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
8		eloni 4893	. . . . . . . . . . . 12
9		ordirr 4901	. . . . . . . . . . . 12
10	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . 11
11		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . 14
12		dif1o 7169	. . . . . . . . . . . . . 14
13	11, 12	mpbiran 918	. . . . . . . . . . . . 13
14		cantnfp1OLD.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15		cantnfsOLD.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16		cantnfsOLD.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	15, 16, 4	cantnfsOLD 8136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	14, 17	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	18	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21		elpreima 6007	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	19, 20, 21	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		cantnfp1OLD.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	sseld 3502	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	22, 24	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . 14
26	5, 25	mpand 675	. . . . . . . . . . . . 13
27	13, 26	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . 12
28	27	necon1bd 2675	. . . . . . . . . . 11
29	10, 28	mpd 15	. . . . . . . . . 10
30	29	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9
31		simpr 461	. . . . . . . . . 10
32	31	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
33		simpllr 760	. . . . . . . . 9
34	30, 32, 33	3eqtr4rd 2509	. . . . . . . 8
35		eqidd 2458	. . . . . . . 8
36	2, 3, 34, 35	ifbothda 3976	. . . . . . 7
37	36	mpteq2dva 4538	. . . . . 6
38	1, 37	syl5eq 2510	. . . . 5
39	19	feqmptd 5926	. . . . . 6
40	39	adantr 465	. . . . 5
41	38, 40	eqtr4d 2501	. . . 4
42	14	adantr 465	. . . 4
43	41, 42	eqeltrd 2545	. . 3
44		oecl 7206	. . . . . . . 8
45	16, 4, 44	syl2anc 661	. . . . . . 7
46	15, 16, 4	cantnff 8114	. . . . . . . 8
47	46, 14	ffvelrnd 6032	. . . . . . 7
48		onelon 4908	. . . . . . 7
49	45, 47, 48	syl2anc 661	. . . . . 6
50	49	adantr 465	. . . . 5
51		oa0r 7207	. . . . 5
52	50, 51	syl 16	. . . 4
53		oveq2 6304	. . . . . 6
54		oecl 7206	. . . . . . . 8
55	16, 7, 54	syl2anc 661	. . . . . . 7
56		om0 7186	. . . . . . 7
57	55, 56	syl 16	. . . . . 6
58	53, 57	sylan9eqr 2520	. . . . 5
59	58	oveq1d 6311	. . . 4
60	41	fveq2d 5875	. . . 4
61	52, 59, 60	3eqtr4rd 2509	. . 3
62	43, 61	jca 532	. 2
63	16	adantr 465	. . . 4
64	4	adantr 465	. . . 4
65	14	adantr 465	. . . 4
66	5	adantr 465	. . . 4
67		cantnfp1OLD.6	. . . . 5
68	67	adantr 465	. . . 4
69	23	adantr 465	. . . 4
70	15, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1	cantnfp1lem1OLD 8144	. . 3
71		onelon 4908	. . . . . . 7
72	16, 67, 71	syl2anc 661	. . . . . 6
73		on0eln0 4938	. . . . . 6
74	72, 73	syl 16	. . . . 5
75	74	biimpar 485	. . . 4
76		eqid 2457	. . . 4
77		eqid 2457	. . . 4
78		eqid 2457	. . . 4
79		eqid 2457	. . . 4
80	15, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 1, 75, 76, 77, 78, 79	cantnfp1lem3OLD 8146	. . 3
81	70, 80	jca 532	. 2
82	62, 81	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  e.cmpt 4510  cep 4794  Ordword 4882  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  seqomcseqom 7131  c1o 7142  coa 7146  comu 7147  coe 7148  cfn 7536  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100