MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem1 Unicode version

Theorem cantnfp1lem1 8118
Description: Lemma for cantnfp1 8121. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfp1.g
cantnfp1.x
cantnfp1.y
cantnfp1.s
cantnfp1.f
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.y . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
3 cantnfp1.g . . . . . . 7
4 cantnfs.s . . . . . . . 8
5 cantnfs.a . . . . . . . 8
6 cantnfs.b . . . . . . . 8
74, 5, 6cantnfs 8106 . . . . . . 7
83, 7mpbid 210 . . . . . 6
98simpld 459 . . . . 5
109ffvelrnda 6031 . . . 4
112, 10ifcld 3984 . . 3
12 cantnfp1.f . . 3
1311, 12fmptd 6055 . 2
148simprd 463 . . . . . 6
1514fsuppimpd 7856 . . . . 5
16 snfi 7616 . . . . 5
17 unfi 7807 . . . . 5
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4
19 eldifi 3625 . . . . . . . 8
2019adantl 466 . . . . . . 7
211adantr 465 . . . . . . . 8
22 fvex 5881 . . . . . . . 8
23 ifexg 4011 . . . . . . . 8
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . 7
25 eqeq1 2461 . . . . . . . . 9
26 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
2725, 26ifbieq2d 3966 . . . . . . . 8
2827, 12fvmptg 5954 . . . . . . 7
2920, 24, 28syl2anc 661 . . . . . 6
30 eldifn 3626 . . . . . . . . 9
3130adantl 466 . . . . . . . 8
32 elsn 4043 . . . . . . . . 9
33 elun2 3671 . . . . . . . . 9
3432, 33sylbir 213 . . . . . . . 8
3531, 34nsyl 121 . . . . . . 7
3635iffalsed 3952 . . . . . 6
37 ssun1 3666 . . . . . . . . 9
38 sscon 3637 . . . . . . . . 9
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8
4039sseli 3499 . . . . . . 7
41 eqid 2457 . . . . . . . . 9
42 eqimss2 3556 . . . . . . . . 9
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . 8
44 0ex 4582 . . . . . . . . 9
4544a1i 11 . . . . . . . 8
469, 43, 6, 45suppssr 6950 . . . . . . 7
4740, 46sylan2 474 . . . . . 6
4829, 36, 473eqtrd 2502 . . . . 5
4913, 48suppss 6949 . . . 4
50 ssfi 7760 . . . 4
5118, 49, 50syl2anc 661 . . 3
5212funmpt2 5630 . . . . 5
5352a1i 11 . . . 4
54 mptexg 6142 . . . . . 6
5512, 54syl5eqel 2549 . . . . 5
566, 55syl 16 . . . 4
57 funisfsupp 7854 . . . 4
5853, 56, 45, 57syl3anc 1228 . . 3
5951, 58mpbird 232 . 2
604, 5, 6cantnfs 8106 . 2
6113, 59, 60mpbir2and 922 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  domcdm 5004  Funwfun 5587  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   csupp 6918   cfn 7536   cfsupp 7849   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8119  cantnfp1lem3  8120  cantnfp1  8121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator