Theorem cantnfp1lem1OLD 8144

Description: Lemma for cantnfp1OLD 8147. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) Obsolete version of cantnfp1lem1 8118 as of 30-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfp1OLD.4
cantnfp1OLD.5
cantnfp1OLD.6
cantnfp1OLD.7
cantnfp1OLD.f

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem1OLD

Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1lem1OLD

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1OLD.6	. . . . 5
2	1	adantr 465	. . . 4
3		cantnfp1OLD.4	. . . . . . 7
4		cantnfsOLD.1	. . . . . . . 8
5		cantnfsOLD.2	. . . . . . . 8
6		cantnfsOLD.3	. . . . . . . 8
7	4, 5, 6	cantnfsOLD 8136	. . . . . . 7
8	3, 7	mpbid 210	. . . . . 6
9	8	simpld 459	. . . . 5
10	9	ffvelrnda 6031	. . . 4
11		ifcl 3983	. . . 4
12	2, 10, 11	syl2anc 661	. . 3
13		cantnfp1OLD.f	. . 3
14	12, 13	fmptd 6055	. 2
15	8	simprd 463	. . . 4
16		snfi 7616	. . . 4
17		unfi 7807	. . . 4
18	15, 16, 17	sylancl 662	. . 3
19		df1o2 7161	. . . . . 6
20	19	difeq2i 3618	. . . . 5
21	20	imaeq2i 5340	. . . 4
22		eldifi 3625	. . . . . . . 8
23	22	adantl 466	. . . . . . 7
24	1	adantr 465	. . . . . . . 8
25		fvex 5881	. . . . . . . 8
26		ifexg 4011	. . . . . . . 8
27	24, 25, 26	sylancl 662	. . . . . . 7
28		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9
29		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
30	28, 29	ifbieq2d 3966	. . . . . . . 8
31	30, 13	fvmptg 5954	. . . . . . 7
32	23, 27, 31	syl2anc 661	. . . . . 6
33		eldifn 3626	. . . . . . . . 9
34	33	adantl 466	. . . . . . . 8
35		elsn 4043	. . . . . . . . 9
36		elun2 3671	. . . . . . . . 9
37	35, 36	sylbir 213	. . . . . . . 8
38	34, 37	nsyl 121	. . . . . . 7
39		iffalse 3950	. . . . . . 7
40	38, 39	syl 16	. . . . . 6
41		ssun1 3666	. . . . . . . . 9
42		sscon 3637	. . . . . . . . 9
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . 8
44	43	sseli 3499	. . . . . . 7
45	20	imaeq2i 5340	. . . . . . . . 9
46		eqimss2 3556	. . . . . . . . 9
47	45, 46	mp1i 12	. . . . . . . 8
48	9, 47	suppssrOLD 6021	. . . . . . 7
49	44, 48	sylan2 474	. . . . . 6
50	32, 40, 49	3eqtrd 2502	. . . . 5
51	14, 50	suppssOLD 6020	. . . 4
52	21, 51	syl5eqss 3547	. . 3
53		ssfi 7760	. . 3
54	18, 52, 53	syl2anc 661	. 2
55	4, 5, 6	cantnfsOLD 8136	. 2
56	14, 54, 55	mpbir2and 922	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  {csn 4029  e.cmpt 4510  con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1o 7142  cfn 7536  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2OLD  8145  cantnfp1lem3OLD  8146  cantnfp1OLD  8147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100