MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfp1lem2 Unicode version

Theorem cantnfp1lem2 8119
Description: Lemma for cantnfp1 8121. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfp1.g
cantnfp1.x
cantnfp1.y
cantnfp1.s
cantnfp1.f
cantnfp1.e
cantnfp1.o
Assertion
Ref Expression
cantnfp1lem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1lem2
StepHypRef Expression
1 cantnfp1.x . . . . . . 7
2 cantnfp1.y . . . . . . . . 9
3 iftrue 3947 . . . . . . . . . 10
4 cantnfp1.f . . . . . . . . . 10
53, 4fvmptg 5954 . . . . . . . . 9
61, 2, 5syl2anc 661 . . . . . . . 8
7 cantnfp1.e . . . . . . . . 9
8 cantnfs.a . . . . . . . . . . 11
9 onelon 4908 . . . . . . . . . . 11
108, 2, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
11 on0eln0 4938 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9
137, 12mpbid 210 . . . . . . . 8
146, 13eqnetrd 2750 . . . . . . 7
152adantr 465 . . . . . . . . . . 11
16 cantnfp1.g . . . . . . . . . . . . . 14
17 cantnfs.s . . . . . . . . . . . . . . 15
18 cantnfs.b . . . . . . . . . . . . . . 15
1917, 8, 18cantnfs 8106 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 19mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
2120simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
2221ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11
2315, 22ifcld 3984 . . . . . . . . . 10
2423, 4fmptd 6055 . . . . . . . . 9
25 ffn 5736 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8
27 0ex 4582 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
29 elsuppfn 6926 . . . . . . . 8
3026, 18, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . 7
311, 14, 30mpbir2and 922 . . . . . 6
32 n0i 3789 . . . . . 6
3331, 32syl 16 . . . . 5
34 suppssdm 6931 . . . . . . . . 9
354, 23dmmptd 5716 . . . . . . . . 9
3634, 35syl5sseq 3551 . . . . . . . 8
3718, 36ssexd 4599 . . . . . . 7
38 cantnfp1.o . . . . . . . . 9
39 cantnfp1.s . . . . . . . . . 10
4017, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4cantnfp1lem1 8118 . . . . . . . . 9
4117, 8, 18, 38, 40cantnfcl 8107 . . . . . . . 8
4241simpld 459 . . . . . . 7
4338oien 7984 . . . . . . 7
4437, 42, 43syl2anc 661 . . . . . 6
45 breq1 4455 . . . . . . 7
46 ensymb 7583 . . . . . . . 8
47 en0 7598 . . . . . . . 8
4846, 47bitri 249 . . . . . . 7
4945, 48syl6bb 261 . . . . . 6
5044, 49syl5ibcom 220 . . . . 5
5133, 50mtod 177 . . . 4
5241simprd 463 . . . . 5
53 nnlim 6713 . . . . 5
5452, 53syl 16 . . . 4
55 ioran 490 . . . 4
5651, 54, 55sylanbrc 664 . . 3
57 nnord 6708 . . . 4
58 unizlim 4999 . . . 4
5952, 57, 583syl 20 . . 3
6056, 59mtbird 301 . 2
61 orduniorsuc 6665 . . . 4
6252, 57, 613syl 20 . . 3
6362ord 377 . 2
6460, 63mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   csupp 6918   cen 7533   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator