Theorem cantnfp1lem2OLD 8145

Description: Lemma for cantnfp1OLD 8147. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) Obsolete version of cantnfp1lem2 8119 as of 30-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfsOLD.1
cantnfsOLD.2
cantnfsOLD.3
cantnfp1OLD.4
cantnfp1OLD.5
cantnfp1OLD.6
cantnfp1OLD.7
cantnfp1OLD.f
cantnfp1OLD.8
cantnfp1OLD.o

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2OLD

Distinct variable groups:   ,   ,   ,S   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfp1lem2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1OLD.5	. . . . . . 7
2		cantnfp1OLD.6	. . . . . . . . . 10
3		iftrue 3947	. . . . . . . . . . 11
4		cantnfp1OLD.f	. . . . . . . . . . 11
5	3, 4	fvmptg 5954	. . . . . . . . . 10
6	1, 2, 5	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
7		cantnfp1OLD.8	. . . . . . . . . 10
8		cantnfsOLD.2	. . . . . . . . . . . 12
9		onelon 4908	. . . . . . . . . . . 12
10	8, 2, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
11		on0eln0 4938	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . 10
13	7, 12	mpbid 210	. . . . . . . . 9
14	6, 13	eqnetrd 2750	. . . . . . . 8
15		fvex 5881	. . . . . . . . 9
16		dif1o 7169	. . . . . . . . 9
17	15, 16	mpbiran 918	. . . . . . . 8
18	14, 17	sylibr 212	. . . . . . 7
19	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10
20		cantnfp1OLD.4	. . . . . . . . . . . . 13
21		cantnfsOLD.1	. . . . . . . . . . . . . 14
22		cantnfsOLD.3	. . . . . . . . . . . . . 14
23	21, 8, 22	cantnfsOLD 8136	. . . . . . . . . . . . 13
24	20, 23	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
25	24	simpld 459	. . . . . . . . . . 11
26	25	ffvelrnda 6031	. . . . . . . . . 10
27		ifcl 3983	. . . . . . . . . 10
28	19, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
29	28, 4	fmptd 6055	. . . . . . . 8
30		ffn 5736	. . . . . . . 8
31		elpreima 6007	. . . . . . . 8
32	29, 30, 31	3syl 20	. . . . . . 7
33	1, 18, 32	mpbir2and 922	. . . . . 6
34		n0i 3789	. . . . . 6
35	33, 34	syl 16	. . . . 5
36		cnvimass 5362	. . . . . . . . 9
37		fdm 5740	. . . . . . . . . 10
38	29, 37	syl 16	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl5sseq 3551	. . . . . . . 8
40	22, 39	ssexd 4599	. . . . . . 7
41		cantnfp1OLD.o	. . . . . . . . 9
42		cantnfp1OLD.7	. . . . . . . . . 10
43	21, 8, 22, 20, 1, 2, 42, 4	cantnfp1lem1OLD 8144	. . . . . . . . 9
44	21, 8, 22, 41, 43	cantnfclOLD 8137	. . . . . . . 8
45	44	simpld 459	. . . . . . 7
46	41	oien 7984	. . . . . . 7
47	40, 45, 46	syl2anc 661	. . . . . 6
48		breq1 4455	. . . . . . 7
49		ensymb 7583	. . . . . . . 8
50		en0 7598	. . . . . . . 8
51	49, 50	bitri 249	. . . . . . 7
52	48, 51	syl6bb 261	. . . . . 6
53	47, 52	syl5ibcom 220	. . . . 5
54	35, 53	mtod 177	. . . 4
55	44	simprd 463	. . . . 5
56		nnlim 6713	. . . . 5
57	55, 56	syl 16	. . . 4
58		ioran 490	. . . 4
59	54, 57, 58	sylanbrc 664	. . 3
60		nnord 6708	. . . 4
61		unizlim 4999	. . . 4
62	55, 60, 61	3syl 20	. . 3
63	59, 62	mtbird 301	. 2
64		orduniorsuc 6665	. . . 4
65	55, 60, 64	3syl 20	. . 3
66	65	ord 377	. 2
67	63, 66	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cep 4794  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  cen 7533  cfn 7536  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3OLD  8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100