Theorem cantnfres 8117

Description: The function respects extensions of the domain to a larger ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfrescl.d
cantnfrescl.b
cantnfrescl.x
cantnfrescl.a
cantnfrescl.t
cantnfres.m

Assertion

Ref	Expression
cantnfres

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cantnfres

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfrescl.d	. . . . . . . . . . . . 13
2		cantnfrescl.b	. . . . . . . . . . . . 13
3		cantnfrescl.x	. . . . . . . . . . . . 13
4	1, 2, 3	extmptsuppeq 6943	. . . . . . . . . . . 12
5		oieq2 7959	. . . . . . . . . . . 12
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . 11
7	6	fveq1d 5873	. . . . . . . . . 10
8	7	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
9	8	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
10		suppssdm 6931	. . . . . . . . . . . . 13
11		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	dmmptss 5508	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
14	10, 13	syl5ss 3514	. . . . . . . . . . . 12
15	14	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
16		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
17	16	oif 7976	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	ffvelrni 6030	. . . . . . . . . . . 12
19	18	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
20	15, 19	sseldd 3504	. . . . . . . . . 10
21		fvres 5885	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . 9
23	2	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
24	23	resmptd 5330	. . . . . . . . . 10
25	24	fveq1d 5873	. . . . . . . . 9
26	8	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
27	22, 25, 26	3eqtr3d 2506	. . . . . . . 8
28	9, 27	oveq12d 6314	. . . . . . 7
29	28	oveq1d 6311	. . . . . 6
30	29	mpt2eq3dva 6361	. . . . 5
31	6	dmeqd 5210	. . . . . 6
32		eqid 2457	. . . . . 6
33		mpt2eq12 6357	. . . . . 6
34	31, 32, 33	sylancl 662	. . . . 5
35	30, 34	eqtrd 2498	. . . 4
36		eqid 2457	. . . 4
37		seqomeq12 7138	. . . 4
38	35, 36, 37	sylancl 662	. . 3
39	38, 31	fveq12d 5877	. 2
40		cantnfs.s	. . 3
41		cantnfs.a	. . 3
42		cantnfs.b	. . 3
43		cantnfres.m	. . 3
44		eqid 2457	. . 3
45	40, 41, 42, 16, 43, 44	cantnfval2 8109	. 2
46		cantnfrescl.t	. . 3
47		eqid 2457	. . 3
48		cantnfrescl.a	. . . . 5
49	40, 41, 42, 1, 2, 3, 48, 46	cantnfrescl 8116	. . . 4
50	43, 49	mpbid 210	. . 3
51		eqid 2457	. . 3
52	46, 41, 1, 47, 50, 51	cantnfval2 8109	. 2
53	39, 45, 52	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  e.cmpt 4510  cep 4794  con0 4883  domcdm 5004  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  csupp 6918  seqomcseqom 7131  coa 7146  comu 7147  coe 7148  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100