Theorem cantnfs 8106

Description: Elementhood in the set of finitely supported functions from to . (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b

Assertion

Ref	Expression
cantnfs

Proof of Theorem cantnfs

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . . . 5
2		eqid 2457	. . . . . 6
3		cantnfs.a	. . . . . 6
4		cantnfs.b	. . . . . 6
5	2, 3, 4	cantnfdm 8102	. . . . 5
6	1, 5	syl5eq 2510	. . . 4
7	6	eleq2d 2527	. . 3
8		breq1 4455	. . . 4
9	8	elrab 3257	. . 3
10	7, 9	syl6bb 261	. 2
11	3, 4	elmapd 7453	. . 3
12	11	anbi1d 704	. 2
13	10, 12	bitrd 253	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  c0 3784   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  -->wf 5589  (class class class)co 6296  cmap 7439  cfsupp 7849  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfcl  8107  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnff  8114  cantnf0  8115  cantnfrescl  8116  cantnfp1lem1  8118  cantnfp1lem2  8119  cantnfp1lem3  8120  cantnfp1  8121  oemapvali  8124  cantnflem1a  8125  cantnflem1b  8126  cantnflem1c  8127  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131  cantnf  8133  cnfcomlem  8164  cnfcom  8165  cnfcom2lem  8166  cnfcom3lem  8168  cnfcom3  8169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-map 7441  df-cnf 8100