Theorem cantnfsuc 8110

Description: The value of the recursive function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h

Assertion

Ref	Expression
cantnfsuc

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   S,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cantnfsuc

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfval.h	. . . 4
2	1	seqomsuc 7141	. . 3
3	2	adantl 466	. 2
4		elex 3118	. . . 4
5	4	adantl 466	. . 3
6		fvex 5881	. . 3
7		simpl 457	. . . . . . . 8
8	7	fveq2d 5875	. . . . . . 7
9	8	oveq2d 6312	. . . . . 6
10	8	fveq2d 5875	. . . . . 6
11	9, 10	oveq12d 6314	. . . . 5
12		simpr 461	. . . . 5
13	11, 12	oveq12d 6314	. . . 4
14		fveq2 5871	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6312	. . . . . . 7
16	14	fveq2d 5875	. . . . . . 7
17	15, 16	oveq12d 6314	. . . . . 6
18	17	oveq1d 6311	. . . . 5
19		oveq2 6304	. . . . 5
20	18, 19	cbvmpt2v 6377	. . . 4
21		ovex 6324	. . . 4
22	13, 20, 21	ovmpt2a 6433	. . 3
23	5, 6, 22	sylancl 662	. 2
24	3, 23	eqtrd 2498	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  cep 4794  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  csupp 6918  seqomcseqom 7131  coa 7146  comu 7147  coe 7148  OrdIsocoi 7955  ccnf 8099

This theorem is referenced by:  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnfp1lem3  8120  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cnfcomlem  8164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132