Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfsuc Unicode version

Theorem cantnfsuc 8110
 Description: The value of the recursive function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
Assertion
Ref Expression
cantnfsuc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   S,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cantnfsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfval.h . . . 4
21seqomsuc 7141 . . 3
4 elex 3118 . . . 4
6 fvex 5881 . . 3
7 simpl 457 . . . . . . . 8
87fveq2d 5875 . . . . . . 7
98oveq2d 6312 . . . . . 6
108fveq2d 5875 . . . . . 6
119, 10oveq12d 6314 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . 5
1311, 12oveq12d 6314 . . . 4
14 fveq2 5871 . . . . . . . 8
1514oveq2d 6312 . . . . . . 7
1614fveq2d 5875 . . . . . . 7
1715, 16oveq12d 6314 . . . . . 6
1817oveq1d 6311 . . . . 5
19 oveq2 6304 . . . . 5
2018, 19cbvmpt2v 6377 . . . 4
21 ovex 6324 . . . 4
2213, 20, 21ovmpt2a 6433 . . 3
235, 6, 22sylancl 662 . 2
243, 23eqtrd 2498 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784   cep 4794   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIso`coi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnfp1lem3  8120  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cnfcomlem  8164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132
 Copyright terms: Public domain W3C validator