MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval Unicode version

Theorem cantnfval 8108
Description: The value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
Assertion
Ref Expression
cantnfval
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   S, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem cantnfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4
2 cantnfs.a . . . 4
3 cantnfs.b . . . 4
41, 2, 3cantnffval 8101 . . 3
54fveq1d 5873 . 2
6 cantnfcl.f . . . 4
7 cantnfs.s . . . . 5
81, 2, 3cantnfdm 8102 . . . . 5
97, 8syl5eq 2510 . . . 4
106, 9eleqtrd 2547 . . 3
11 ovex 6324 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . . 7
1312oiexg 7981 . . . . . 6
1411, 13mp1i 12 . . . . 5
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 oieq2 7959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2015, 19eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
21 cantnfcl.g . . . . . . . . . . . . . 14
2220, 21syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13
2322fveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12
2423oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
25 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
2625, 23fveq12d 5877 . . . . . . . . . . 11
2724, 26oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
2827oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
2928mpt2eq3dv 6363 . . . . . . . 8
30 eqid 2457 . . . . . . . 8
31 seqomeq12 7138 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . 7
33 cantnfval.h . . . . . . 7
3432, 33syl6eqr 2516 . . . . . 6
3522dmeqd 5210 . . . . . 6
3634, 35fveq12d 5877 . . . . 5
3714, 36csbied 3461 . . . 4
38 eqid 2457 . . . 4
39 fvex 5881 . . . 4
4037, 38, 39fvmpt 5956 . . 3
4110, 40syl 16 . 2
425, 41eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  [_csb 3434   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cep 4794   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148   cmap 7439   cfsupp 7849  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnfval2  8109  cantnfle  8111  cantnflt2  8113  cantnff  8114  cantnf0  8115  cantnfp1lem3  8120  cantnflem1  8129  cantnf  8133  cnfcom2  8167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator