MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval2 Unicode version

Theorem cantnfval2 8109
Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
Assertion
Ref Expression
cantnfval2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   S, ,   , ,   , ,

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3
2 cantnfs.a . . 3
3 cantnfs.b . . 3
4 cantnfcl.g . . 3
5 cantnfcl.f . . 3
6 cantnfval.h . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 8108 . 2
8 ssid 3522 . . 3
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 8107 . . . . 5
109simprd 463 . . . 4
11 sseq1 3524 . . . . . . 7
12 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
13 0ex 4582 . . . . . . . . . 10
146seqom0g 7140 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1612, 15syl6eq 2514 . . . . . . . 8
17 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1918seqom0g 7140 . . . . . . . . . 10
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2117, 20syl6eq 2514 . . . . . . . 8
2216, 21eqeq12d 2479 . . . . . . 7
2311, 22imbi12d 320 . . . . . 6
2423imbi2d 316 . . . . 5
25 sseq1 3524 . . . . . . 7
26 fveq2 5871 . . . . . . . 8
27 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2826, 27eqeq12d 2479 . . . . . . 7
2925, 28imbi12d 320 . . . . . 6
3029imbi2d 316 . . . . 5
31 sseq1 3524 . . . . . . 7
32 fveq2 5871 . . . . . . . 8
33 fveq2 5871 . . . . . . . 8
3432, 33eqeq12d 2479 . . . . . . 7
3531, 34imbi12d 320 . . . . . 6
3635imbi2d 316 . . . . 5
37 sseq1 3524 . . . . . . 7
38 fveq2 5871 . . . . . . . 8
39 fveq2 5871 . . . . . . . 8
4038, 39eqeq12d 2479 . . . . . . 7
4137, 40imbi12d 320 . . . . . 6
4241imbi2d 316 . . . . 5
43 eqid 2457 . . . . . 6
4443a1ii 27 . . . . 5
45 sssucid 4960 . . . . . . . . . 10
46 sstr 3511 . . . . . . . . . 10
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . 9
4847imim1i 58 . . . . . . . 8
49 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
506seqomsuc 7141 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
5218seqomsuc 7141 . . . . . . . . . . . . . 14
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
54 ssv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ssv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 resmpt2 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveqi 6309 . . . . . . . . . . . . . 14
59 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160sucid 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 62sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418cantnfvalf 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 ovres 6442 . . . . . . . . . . . . . . 15
6863, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
6958, 68syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13
7053, 69eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
7151, 70eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10
7372expr 615 . . . . . . . . 9
7473a2d 26 . . . . . . . 8
7548, 74syl5 32 . . . . . . 7
7675expcom 435 . . . . . 6
7776a2d 26 . . . . 5
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6726 . . . 4
7910, 78mpcom 36 . . 3
808, 79mpi 17 . 2
817, 80eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099
This theorem is referenced by:  cantnfres  8117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
  Copyright terms: Public domain W3C validator