Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfval2 Unicode version

Theorem cantnfval2 8109
 Description: Alternate expression for the value of the Cantor normal form function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s
cantnfs.a
cantnfs.b
cantnfcl.g
cantnfcl.f
cantnfval.h
Assertion
Ref Expression
cantnfval2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   S,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cantnfval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.s . . 3
2 cantnfs.a . . 3
3 cantnfs.b . . 3
4 cantnfcl.g . . 3
5 cantnfcl.f . . 3
6 cantnfval.h . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6cantnfval 8108 . 2
8 ssid 3522 . . 3
91, 2, 3, 4, 5cantnfcl 8107 . . . . 5
109simprd 463 . . . 4
11 sseq1 3524 . . . . . . 7
12 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
13 0ex 4582 . . . . . . . . . 10
146seqom0g 7140 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1612, 15syl6eq 2514 . . . . . . . 8
17 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
1918seqom0g 7140 . . . . . . . . . 10
2013, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2117, 20syl6eq 2514 . . . . . . . 8
2216, 21eqeq12d 2479 . . . . . . 7
2311, 22imbi12d 320 . . . . . 6
2423imbi2d 316 . . . . 5
25 sseq1 3524 . . . . . . 7
26 fveq2 5871 . . . . . . . 8
27 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2826, 27eqeq12d 2479 . . . . . . 7
2925, 28imbi12d 320 . . . . . 6
3029imbi2d 316 . . . . 5
31 sseq1 3524 . . . . . . 7
32 fveq2 5871 . . . . . . . 8
33 fveq2 5871 . . . . . . . 8
3432, 33eqeq12d 2479 . . . . . . 7
3531, 34imbi12d 320 . . . . . 6
3635imbi2d 316 . . . . 5
37 sseq1 3524 . . . . . . 7
38 fveq2 5871 . . . . . . . 8
39 fveq2 5871 . . . . . . . 8
4038, 39eqeq12d 2479 . . . . . . 7
4137, 40imbi12d 320 . . . . . 6
4241imbi2d 316 . . . . 5
43 eqid 2457 . . . . . 6
4443a1ii 27 . . . . 5
45 sssucid 4960 . . . . . . . . . 10
46 sstr 3511 . . . . . . . . . 10
4745, 46mpan 670 . . . . . . . . 9
4847imim1i 58 . . . . . . . 8
49 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
506seqomsuc 7141 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
5218seqomsuc 7141 . . . . . . . . . . . . . 14
5352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
54 ssv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ssv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 resmpt2 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveqi 6309 . . . . . . . . . . . . . 14
59 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160sucid 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 62sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418cantnfvalf 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 ovres 6442 . . . . . . . . . . . . . . 15
6863, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
6958, 68syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13
7053, 69eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
7151, 70eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
7249, 71syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10
7372expr 615 . . . . . . . . 9
7473a2d 26 . . . . . . . 8
7548, 74syl5 32 . . . . . . 7
7675expcom 435 . . . . . 6
7776a2d 26 . . . . 5
7824, 30, 36, 42, 44, 77finds 6726 . . . 4
7910, 78mpcom 36 . . 3
808, 79mpi 17 . 2
817, 80eqtrd 2498 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  |cres 5006  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   csupp 6918  seqomcseqom 7131   coa 7146   comu 7147   coe 7148  OrdIsocoi 7955   ccnf 8099 This theorem is referenced by:  cantnfres  8117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-cnf 8100
 Copyright terms: Public domain W3C validator