Theorem caofass 6574

Description: Transfer an associative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caofass.5

Assertion

Ref	Expression
caofass

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,O,,   ,P,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem caofass

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofass.5	. . . . . 6
2	1	ralrimivvva 2879	. . . . 5
3	2	adantr 465	. . . 4
4		caofref.2	. . . . . 6
5	4	ffvelrnda 6031	. . . . 5
6		caofcom.3	. . . . . 6
7	6	ffvelrnda 6031	. . . . 5
8		caofass.4	. . . . . 6
9	8	ffvelrnda 6031	. . . . 5
10		oveq1 6303	. . . . . . . 8
11	10	oveq1d 6311	. . . . . . 7
12		oveq1 6303	. . . . . . 7
13	11, 12	eqeq12d 2479	. . . . . 6
14		oveq2 6304	. . . . . . . 8
15	14	oveq1d 6311	. . . . . . 7
16		oveq1 6303	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6312	. . . . . . 7
18	15, 17	eqeq12d 2479	. . . . . 6
19		oveq2 6304	. . . . . . 7
20		oveq2 6304	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . 7
22	19, 21	eqeq12d 2479	. . . . . 6
23	13, 18, 22	rspc3v 3222	. . . . 5
24	5, 7, 9, 23	syl3anc 1228	. . . 4
25	3, 24	mpd 15	. . 3
26	25	mpteq2dva 4538	. 2
27		caofref.1	. . 3
28		ovex 6324	. . . 4
29	28	a1i 11	. . 3
30	4	feqmptd 5926	. . . 4
31	6	feqmptd 5926	. . . 4
32	27, 5, 7, 30, 31	offval2 6556	. . 3
33	8	feqmptd 5926	. . 3
34	27, 29, 9, 32, 33	offval2 6556	. 2
35		ovex 6324	. . . 4
36	35	a1i 11	. . 3
37	27, 7, 9, 31, 33	offval2 6556	. . 3
38	27, 5, 36, 30, 37	offval2 6556	. 2
39	26, 34, 38	3eqtr4d 2508	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  oFcof 6538

This theorem is referenced by:  psrgrp  18051  psrlmod  18054  mndvass  18894  itg2mulc  22154  plydivlem4  22692  dchrabl  23529  expgrowth  31240  lfladdass  34798  lflvsass  34806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540