Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caofass Unicode version

Theorem caofass 6574
 Description: Transfer an associative law to the function operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caofass.5
Assertion
Ref Expression
caofass
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,O,,   ,P,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,

Proof of Theorem caofass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caofass.5 . . . . . 6
21ralrimivvva 2879 . . . . 5
32adantr 465 . . . 4
4 caofref.2 . . . . . 6
54ffvelrnda 6031 . . . . 5
6 caofcom.3 . . . . . 6
76ffvelrnda 6031 . . . . 5
8 caofass.4 . . . . . 6
98ffvelrnda 6031 . . . . 5
10 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1110oveq1d 6311 . . . . . . 7
12 oveq1 6303 . . . . . . 7
1311, 12eqeq12d 2479 . . . . . 6
14 oveq2 6304 . . . . . . . 8
1514oveq1d 6311 . . . . . . 7
16 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6312 . . . . . . 7
1815, 17eqeq12d 2479 . . . . . 6
19 oveq2 6304 . . . . . . 7
20 oveq2 6304 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6312 . . . . . . 7
2219, 21eqeq12d 2479 . . . . . 6
2313, 18, 22rspc3v 3222 . . . . 5
245, 7, 9, 23syl3anc 1228 . . . 4
253, 24mpd 15 . . 3
2625mpteq2dva 4538 . 2
27 caofref.1 . . 3
28 ovex 6324 . . . 4
2928a1i 11 . . 3
304feqmptd 5926 . . . 4
316feqmptd 5926 . . . 4
3227, 5, 7, 30, 31offval2 6556 . . 3
338feqmptd 5926 . . 3
3427, 29, 9, 32, 33offval2 6556 . 2
35 ovex 6324 . . . 4
3635a1i 11 . . 3
3727, 7, 9, 31, 33offval2 6556 . . 3
3827, 5, 36, 30, 37offval2 6556 . 2
3926, 34, 383eqtr4d 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  e.cmpt 4510  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  oF`cof 6538 This theorem is referenced by:  psrgrp  18051  psrlmod  18054  mndvass  18894  itg2mulc  22154  plydivlem4  22692  dchrabl  23529  expgrowth  31240  lfladdass  34798  lflvsass  34806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540
 Copyright terms: Public domain W3C validator