Theorem caoftrn 6575

Description: Transfer a transitivity law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caoftrn.5

Assertion

Ref	Expression
caoftrn

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem caoftrn

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caoftrn.5	. . . . . 6
2	1	ralrimivvva 2879	. . . . 5
3	2	adantr 465	. . . 4
4		caofref.2	. . . . . 6
5	4	ffvelrnda 6031	. . . . 5
6		caofcom.3	. . . . . 6
7	6	ffvelrnda 6031	. . . . 5
8		caofass.4	. . . . . 6
9	8	ffvelrnda 6031	. . . . 5
10		breq1 4455	. . . . . . . 8
11	10	anbi1d 704	. . . . . . 7
12		breq1 4455	. . . . . . 7
13	11, 12	imbi12d 320	. . . . . 6
14		breq2 4456	. . . . . . . 8
15		breq1 4455	. . . . . . . 8
16	14, 15	anbi12d 710	. . . . . . 7
17	16	imbi1d 317	. . . . . 6
18		breq2 4456	. . . . . . . 8
19	18	anbi2d 703	. . . . . . 7
20		breq2 4456	. . . . . . 7
21	19, 20	imbi12d 320	. . . . . 6
22	13, 17, 21	rspc3v 3222	. . . . 5
23	5, 7, 9, 22	syl3anc 1228	. . . 4
24	3, 23	mpd 15	. . 3
25	24	ralimdva 2865	. 2
26		ffn 5736	. . . . . 6
27	4, 26	syl 16	. . . . 5
28		ffn 5736	. . . . . 6
29	6, 28	syl 16	. . . . 5
30		caofref.1	. . . . 5
31		inidm 3706	. . . . 5
32		eqidd 2458	. . . . 5
33		eqidd 2458	. . . . 5
34	27, 29, 30, 30, 31, 32, 33	ofrfval 6548	. . . 4
35		ffn 5736	. . . . . 6
36	8, 35	syl 16	. . . . 5
37		eqidd 2458	. . . . 5
38	29, 36, 30, 30, 31, 33, 37	ofrfval 6548	. . . 4
39	34, 38	anbi12d 710	. . 3
40		r19.26 2984	. . 3
41	39, 40	syl6bbr 263	. 2
42	27, 36, 30, 30, 31, 32, 37	ofrfval 6548	. 2
43	25, 41, 42	3imtr4d 268	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  oRcofr 6539

This theorem is referenced by:  gsumbagdiaglem  18027  itg2le  22146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ofr 6541