Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caoftrn Unicode version

Theorem caoftrn 6575
 Description: Transfer a transitivity law to the function relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
caofref.1
caofref.2
caofcom.3
caofass.4
caoftrn.5
Assertion
Ref Expression
caoftrn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,S,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem caoftrn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caoftrn.5 . . . . . 6
21ralrimivvva 2879 . . . . 5
32adantr 465 . . . 4
4 caofref.2 . . . . . 6
54ffvelrnda 6031 . . . . 5
6 caofcom.3 . . . . . 6
76ffvelrnda 6031 . . . . 5
8 caofass.4 . . . . . 6
98ffvelrnda 6031 . . . . 5
10 breq1 4455 . . . . . . . 8
1110anbi1d 704 . . . . . . 7
12 breq1 4455 . . . . . . 7
1311, 12imbi12d 320 . . . . . 6
14 breq2 4456 . . . . . . . 8
15 breq1 4455 . . . . . . . 8
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . 7
1716imbi1d 317 . . . . . 6
18 breq2 4456 . . . . . . . 8
1918anbi2d 703 . . . . . . 7
20 breq2 4456 . . . . . . 7
2119, 20imbi12d 320 . . . . . 6
2213, 17, 21rspc3v 3222 . . . . 5
235, 7, 9, 22syl3anc 1228 . . . 4
243, 23mpd 15 . . 3
2524ralimdva 2865 . 2
26 ffn 5736 . . . . . 6
274, 26syl 16 . . . . 5
28 ffn 5736 . . . . . 6
296, 28syl 16 . . . . 5
30 caofref.1 . . . . 5
31 inidm 3706 . . . . 5
32 eqidd 2458 . . . . 5
33 eqidd 2458 . . . . 5
3427, 29, 30, 30, 31, 32, 33ofrfval 6548 . . . 4
35 ffn 5736 . . . . . 6
368, 35syl 16 . . . . 5
37 eqidd 2458 . . . . 5
3829, 36, 30, 30, 31, 33, 37ofrfval 6548 . . . 4
3934, 38anbi12d 710 . . 3
40 r19.26 2984 . . 3
4139, 40syl6bbr 263 . 2
4227, 36, 30, 30, 31, 32, 37ofrfval 6548 . 2
4325, 41, 423imtr4d 268 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  oRcofr 6539 This theorem is referenced by:  gsumbagdiaglem  18027  itg2le  22146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ofr 6541
 Copyright terms: Public domain W3C validator