Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  card2inf Unicode version

Theorem card2inf 8002
 Description: The definition cardval2 8393 has the curious property that for non-numerable sets (for which ndmfv 5895 yields ), it still evaluates to a nonempty set, and indeed it contains . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
card2inf.1
Assertion
Ref Expression
card2inf
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem card2inf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . 5
2 breq1 4455 . . . . 5
3 breq1 4455 . . . . 5
4 0elon 4936 . . . . . . . 8
5 breq1 4455 . . . . . . . . 9
65rspcev 3210 . . . . . . . 8
74, 6mpan 670 . . . . . . 7
87con3i 135 . . . . . 6
9 card2inf.1 . . . . . . . 8
1090dom 7667 . . . . . . 7
11 brsdom 7558 . . . . . . 7
1210, 11mpbiran 918 . . . . . 6
138, 12sylibr 212 . . . . 5
14 sucdom2 7734 . . . . . . . 8
1514ad2antll 728 . . . . . . 7
16 nnon 6706 . . . . . . . . . 10
17 suceloni 6648 . . . . . . . . . 10
18 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
1918rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
2019ex 434 . . . . . . . . . 10
2116, 17, 203syl 20 . . . . . . . . 9
2221con3dimp 441 . . . . . . . 8
2322adantrr 716 . . . . . . 7
24 brsdom 7558 . . . . . . 7
2515, 23, 24sylanbrc 664 . . . . . 6
2625exp32 605 . . . . 5
271, 2, 3, 13, 26finds2 6728 . . . 4
2827com12 31 . . 3
2928ralrimiv 2869 . 2
30 omsson 6704 . . 3
31 ssrab 3577 . . 3
3230, 31mpbiran 918 . 2
3329, 32sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   con0 4883  succsuc 4885   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
 Copyright terms: Public domain W3C validator