MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardaleph Unicode version

Theorem cardaleph 8491
Description: Given any transfinite cardinal number , there is exactly one aleph that is equal to it. Here we compute that aleph explicitly. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardaleph
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardaleph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardon 8346 . . . . . . . . 9
2 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
31, 2mpbii 211 . . . . . . . 8
4 alephle 8490 . . . . . . . . 9
5 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
65sseq2d 3531 . . . . . . . . . 10
76rspcev 3210 . . . . . . . . 9
84, 7mpdan 668 . . . . . . . 8
9 nfcv 2619 . . . . . . . . . 10
10 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
11 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . 12
1211nfint 4296 . . . . . . . . . . 11
1310, 12nffv 5878 . . . . . . . . . 10
149, 13nfss 3496 . . . . . . . . 9
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
1615sseq2d 3531 . . . . . . . . 9
1714, 16onminsb 6634 . . . . . . . 8
183, 8, 173syl 20 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
21 aleph0 8468 . . . . . . . . 9
2220, 21syl6eq 2514 . . . . . . . 8
2322sseq1d 3530 . . . . . . 7
2423biimprd 223 . . . . . 6
2519, 24anim12d 563 . . . . 5
26 eqss 3518 . . . . 5
2725, 26syl6ibr 227 . . . 4
2827com12 31 . . 3
2928ancoms 453 . 2
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
3130sucid 4962 . . . . . . . . . . 11
32 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11
3331, 32mpbiri 233 . . . . . . . . . 10
34 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
3534sseq2d 3531 . . . . . . . . . . 11
3635onnminsb 6639 . . . . . . . . . 10
3733, 36syl5 32 . . . . . . . . 9
3837imp 429 . . . . . . . 8
3938adantl 466 . . . . . . 7
40 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
41 alephsuc 8470 . . . . . . . . . . 11
4240, 41sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . 10
4342eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
4443biimpd 207 . . . . . . . 8
45 elharval 8010 . . . . . . . . . 10
4645simprbi 464 . . . . . . . . 9
47 onenon 8351 . . . . . . . . . . . 12
483, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11
49 alephon 8471 . . . . . . . . . . . 12
50 onenon 8351 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
52 carddom2 8379 . . . . . . . . . . 11
5348, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . . 10
54 sseq1 3524 . . . . . . . . . . 11
55 alephcard 8472 . . . . . . . . . . . 12
5655sseq2i 3528 . . . . . . . . . . 11
5754, 56syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
5853, 57bitr3d 255 . . . . . . . . 9
5946, 58syl5ib 219 . . . . . . . 8
6044, 59sylan9r 658 . . . . . . 7
6139, 60mtod 177 . . . . . 6
6261rexlimdvaa 2950 . . . . 5
63 onintrab2 6637 . . . . . . . . . . . . . 14
648, 63sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
65 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
6664, 65sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
6736adantld 467 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67mpcom 36 . . . . . . . . . . 11
6949onelssi 4991 . . . . . . . . . . 11
7068, 69nsyl 121 . . . . . . . . . 10
7170nrexdv 2913 . . . . . . . . 9
7271adantr 465 . . . . . . . 8
73 alephlim 8469 . . . . . . . . . . 11
7464, 73sylan 471 . . . . . . . . . 10
7574eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
76 eliun 4335 . . . . . . . . 9
7775, 76syl6bb 261 . . . . . . . 8
7872, 77mtbird 301 . . . . . . 7
7978ex 434 . . . . . 6
803, 79syl 16 . . . . 5
8162, 80jaod 380 . . . 4
828, 17syl 16 . . . . . 6
83 alephon 8471 . . . . . . 7
84 onsseleq 4924 . . . . . . 7
8583, 84mpan2 671 . . . . . 6
8682, 85mpbid 210 . . . . 5
8786ord 377 . . . 4
883, 81, 87sylsyld 56 . . 3
8988adantl 466 . 2
90 eloni 4893 . . . . 5
91 ordzsl 6680 . . . . . 6
92 3orass 976 . . . . . 6
9391, 92bitri 249 . . . . 5
9490, 93sylib 196 . . . 4
953, 64, 943syl 20 . . 3
9695adantl 466 . 2
9729, 89, 96mpjaod 381 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593   com 6700   cdom 7534   char 8003   ccrd 8337   cale 8338
This theorem is referenced by:  cardalephex  8492  tskcard  9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342
  Copyright terms: Public domain W3C validator