Theorem cardaleph 8491

Description: Given any transfinite cardinal number , there is exactly one aleph that is equal to it. Here we compute that aleph explicitly. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardaleph

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardaleph

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 8346	. . . . . . . . 9
2		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
3	1, 2	mpbii 211	. . . . . . . 8
4		alephle 8490	. . . . . . . . 9
5		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
6	5	sseq2d 3531	. . . . . . . . . 10
7	6	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
8	4, 7	mpdan 668	. . . . . . . 8
9		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10
10		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
11		nfrab1 3038	. . . . . . . . . . . 12
12	11	nfint 4296	. . . . . . . . . . 11
13	10, 12	nffv 5878	. . . . . . . . . 10
14	9, 13	nfss 3496	. . . . . . . . 9
15		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
16	15	sseq2d 3531	. . . . . . . . 9
17	14, 16	onminsb 6634	. . . . . . . 8
18	3, 8, 17	3syl 20	. . . . . . 7
19	18	a1i 11	. . . . . 6
20		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
21		aleph0 8468	. . . . . . . . 9
22	20, 21	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
23	22	sseq1d 3530	. . . . . . 7
24	23	biimprd 223	. . . . . 6
25	19, 24	anim12d 563	. . . . 5
26		eqss 3518	. . . . 5
27	25, 26	syl6ibr 227	. . . 4
28	27	com12 31	. . 3
29	28	ancoms 453	. 2
30		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
31	30	sucid 4962	. . . . . . . . . . 11
32		eleq2 2530	. . . . . . . . . . 11
33	31, 32	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
34		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
35	34	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . 11
36	35	onnminsb 6639	. . . . . . . . . 10
37	33, 36	syl5 32	. . . . . . . . 9
38	37	imp 429	. . . . . . . 8
39	38	adantl 466	. . . . . . 7
40		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
41		alephsuc 8470	. . . . . . . . . . 11
42	40, 41	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . 10
43	42	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
44	43	biimpd 207	. . . . . . . 8
45		elharval 8010	. . . . . . . . . 10
46	45	simprbi 464	. . . . . . . . 9
47		onenon 8351	. . . . . . . . . . . 12
48	3, 47	syl 16	. . . . . . . . . . 11
49		alephon 8471	. . . . . . . . . . . 12
50		onenon 8351	. . . . . . . . . . . 12
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
52		carddom2 8379	. . . . . . . . . . 11
53	48, 51, 52	sylancl 662	. . . . . . . . . 10
54		sseq1 3524	. . . . . . . . . . 11
55		alephcard 8472	. . . . . . . . . . . 12
56	55	sseq2i 3528	. . . . . . . . . . 11
57	54, 56	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10
58	53, 57	bitr3d 255	. . . . . . . . 9
59	46, 58	syl5ib 219	. . . . . . . 8
60	44, 59	sylan9r 658	. . . . . . 7
61	39, 60	mtod 177	. . . . . 6
62	61	rexlimdvaa 2950	. . . . 5
63		onintrab2 6637	. . . . . . . . . . . . . 14
64	8, 63	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
65		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
66	64, 65	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
67	36	adantld 467	. . . . . . . . . . . 12
68	66, 67	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11
69	49	onelssi 4991	. . . . . . . . . . 11
70	68, 69	nsyl 121	. . . . . . . . . 10
71	70	nrexdv 2913	. . . . . . . . 9
72	71	adantr 465	. . . . . . . 8
73		alephlim 8469	. . . . . . . . . . 11
74	64, 73	sylan 471	. . . . . . . . . 10
75	74	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
76		eliun 4335	. . . . . . . . 9
77	75, 76	syl6bb 261	. . . . . . . 8
78	72, 77	mtbird 301	. . . . . . 7
79	78	ex 434	. . . . . 6
80	3, 79	syl 16	. . . . 5
81	62, 80	jaod 380	. . . 4
82	8, 17	syl 16	. . . . . 6
83		alephon 8471	. . . . . . 7
84		onsseleq 4924	. . . . . . 7
85	83, 84	mpan2 671	. . . . . 6
86	82, 85	mpbid 210	. . . . 5
87	86	ord 377	. . . 4
88	3, 81, 87	sylsyld 56	. . 3
89	88	adantl 466	. 2
90		eloni 4893	. . . . 5
91		ordzsl 6680	. . . . . 6
92		3orass 976	. . . . . 6
93	91, 92	bitri 249	. . . . 5
94	90, 93	sylib 196	. . . 4
95	3, 64, 94	3syl 20	. . 3
96	95	adantl 466	. 2
97	29, 89, 96	mpjaod 381	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593  com 6700  cdom 7534  char 8003  ccrd 8337  cale 8338

This theorem is referenced by:  cardalephex  8492  tskcard  9180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342