Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardcf Unicode version

Theorem cardcf 8653
 Description: Cofinality is a cardinal number. Proposition 11.11 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardcf

Proof of Theorem cardcf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8648 . . . 4
2 vex 3112 . . . . . . . . 9
3 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
43anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
54exbidv 1714 . . . . . . . . 9
62, 5elab 3246 . . . . . . . 8
7 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
8 cardidm 8361 . . . . . . . . . . . 12
97, 8syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
10 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . 11
119, 10mpbird 232 . . . . . . . . . 10
1211adantr 465 . . . . . . . . 9
1312exlimiv 1722 . . . . . . . 8
146, 13sylbi 195 . . . . . . 7
15 cardon 8346 . . . . . . 7
1614, 15syl6eqelr 2554 . . . . . 6
1716ssriv 3507 . . . . 5
18 fvex 5881 . . . . . . 7
191, 18syl6eqelr 2554 . . . . . 6
20 intex 4608 . . . . . 6
2119, 20sylibr 212 . . . . 5
22 onint 6630 . . . . 5
2317, 21, 22sylancr 663 . . . 4
241, 23eqeltrd 2545 . . 3
25 fveq2 5871 . . . . 5
26 id 22 . . . . 5
2725, 26eqeq12d 2479 . . . 4
2827, 14vtoclga 3173 . . 3
2924, 28syl 16 . 2
30 cff 8649 . . . . . 6
3130fdmi 5741 . . . . 5
3231eleq2i 2535 . . . 4
33 ndmfv 5895 . . . 4
3432, 33sylnbir 307 . . 3
35 card0 8360 . . . 4
36 fveq2 5871 . . . 4
37 id 22 . . . 4
3835, 36, 373eqtr4a 2524 . . 3
3934, 38syl 16 . 2
4029, 39pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   ccrd 8337   ccf 8339 This theorem is referenced by:  cfon  8656  winacard  9091 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-card 8341  df-cf 8343
 Copyright terms: Public domain W3C validator