Theorem cardcf 8653

Description: Cofinality is a cardinal number. Proposition 11.11 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardcf

Proof of Theorem cardcf

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 8648	. . . 4
2		vex 3112	. . . . . . . . 9
3		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
4	3	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10
5	4	exbidv 1714	. . . . . . . . 9
6	2, 5	elab 3246	. . . . . . . 8
7		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
8		cardidm 8361	. . . . . . . . . . . 12
9	7, 8	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11
10		eqeq2 2472	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	mpbird 232	. . . . . . . . . 10
12	11	adantr 465	. . . . . . . . 9
13	12	exlimiv 1722	. . . . . . . 8
14	6, 13	sylbi 195	. . . . . . 7
15		cardon 8346	. . . . . . 7
16	14, 15	syl6eqelr 2554	. . . . . 6
17	16	ssriv 3507	. . . . 5
18		fvex 5881	. . . . . . 7
19	1, 18	syl6eqelr 2554	. . . . . 6
20		intex 4608	. . . . . 6
21	19, 20	sylibr 212	. . . . 5
22		onint 6630	. . . . 5
23	17, 21, 22	sylancr 663	. . . 4
24	1, 23	eqeltrd 2545	. . 3
25		fveq2 5871	. . . . 5
26		id 22	. . . . 5
27	25, 26	eqeq12d 2479	. . . 4
28	27, 14	vtoclga 3173	. . 3
29	24, 28	syl 16	. 2
30		cff 8649	. . . . . 6
31	30	fdmi 5741	. . . . 5
32	31	eleq2i 2535	. . . 4
33		ndmfv 5895	. . . 4
34	32, 33	sylnbir 307	. . 3
35		card0 8360	. . . 4
36		fveq2 5871	. . . 4
37		id 22	. . . 4
38	35, 36, 37	3eqtr4a 2524	. . 3
39	34, 38	syl 16	. 2
40	29, 39	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  ccrd 8337  ccf 8339

This theorem is referenced by:  cfon  8656  winacard  9091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-card 8341  df-cf 8343