Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  carddom2 Unicode version

Theorem carddom2 8379
 Description: Two numerable sets have the dominance relationship iff their cardinalities have the subset relationship. See also carddom 8950, which uses AC. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
carddom2

Proof of Theorem carddom2
StepHypRef Expression
1 carddomi2 8372 . 2
2 brdom2 7565 . . 3
3 cardon 8346 . . . . . . . 8
43onelssi 4991 . . . . . . 7
5 carddomi2 8372 . . . . . . . 8
65ancoms 453 . . . . . . 7
7 domnsym 7663 . . . . . . 7
84, 6, 7syl56 34 . . . . . 6
98con2d 115 . . . . 5
10 cardon 8346 . . . . . 6
11 ontri1 4917 . . . . . 6
123, 10, 11mp2an 672 . . . . 5
139, 12syl6ibr 227 . . . 4
14 carden2b 8369 . . . . . 6
15 eqimss 3555 . . . . . 6
1614, 15syl 16 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
1813, 17jaod 380 . . 3
192, 18syl5bi 217 . 2
201, 19impbid 191 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  carduni  8383  carden2  8389  cardsdom2  8390  domtri2  8391  infxpidm2  8415  cardaleph  8491  infenaleph  8493  alephinit  8497  ficardun2  8604  ackbij2  8644  cfflb  8660  fin1a2lem9  8809  carddom  8950  pwfseqlem5  9062  hashdom  12447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator