Theorem carddomi2 8372

Description: Two sets have the dominance relationship if their cardinalities have the subset relationship and one is numerable. See also carddom 8950, which uses AC. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
carddomi2

Proof of Theorem carddomi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardnueq0 8366	. . . . . 6
2	1	adantr 465	. . . . 5
3	2	biimpa 484	. . . 4
4		0domg 7664	. . . . 5
5	4	ad2antlr 726	. . . 4
6	3, 5	eqbrtrd 4472	. . 3
7	6	a1d 25	. 2
8		fvex 5881	. . . . 5
9		simprr 757	. . . . 5
10		ssdomg 7581	. . . . 5
11	8, 9, 10	mpsyl 63	. . . 4
12		cardid2 8355	. . . . . 6
13	12	ad2antrr 725	. . . . 5
14		simprl 756	. . . . . . 7
15		ssn0 3818	. . . . . . 7
16	9, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . 6
17		ndmfv 5895	. . . . . . 7
18	17	necon1ai 2688	. . . . . 6
19		cardid2 8355	. . . . . 6
20	16, 18, 19	3syl 20	. . . . 5
21		domen1 7679	. . . . . 6
22		domen2 7680	. . . . . 6
23	21, 22	sylan9bb 699	. . . . 5
24	13, 20, 23	syl2anc 661	. . . 4
25	11, 24	mpbid 210	. . 3
26	25	expr 615	. 2
27	7, 26	pm2.61dane 2775	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  cen 7533  cdom 7534  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  carddom2  8379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341