MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  carden2b Unicode version

Theorem carden2b 8369
Description: If two sets are equinumerous, then they have equal cardinalities. (This assertion and carden2a 8368 are meant to replace carden 8947 in ZF without AC.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
carden2b

Proof of Theorem carden2b
StepHypRef Expression
1 cardne 8367 . . . . 5
2 ennum 8349 . . . . . . . 8
32biimpa 484 . . . . . . 7
4 cardid2 8355 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
6 ensym 7584 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 entr 7587 . . . . . 6
95, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
101, 9nsyl3 119 . . . 4
11 cardon 8346 . . . . 5
12 cardon 8346 . . . . 5
13 ontri1 4917 . . . . 5
1411, 12, 13mp2an 672 . . . 4
1510, 14sylibr 212 . . 3
16 cardne 8367 . . . . 5
17 cardid2 8355 . . . . . 6
18 id 22 . . . . . 6
19 entr 7587 . . . . . 6
2017, 18, 19syl2anr 478 . . . . 5
2116, 20nsyl3 119 . . . 4
22 ontri1 4917 . . . . 5
2312, 11, 22mp2an 672 . . . 4
2421, 23sylibr 212 . . 3
2515, 24eqssd 3520 . 2
26 ndmfv 5895 . . . 4
2726adantl 466 . . 3
282notbid 294 . . . . 5
2928biimpa 484 . . . 4
30 ndmfv 5895 . . . 4
3129, 30syl 16 . . 3
3227, 31eqtr4d 2501 . 2
3325, 32pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  card1  8370  carddom2  8379  cardennn  8385  cardsucinf  8386  pm54.43lem  8401  nnacda  8602  ficardun  8603  ackbij1lem5  8625  ackbij1lem8  8628  ackbij1lem9  8629  ackbij2lem2  8641  carden  8947  r1tskina  9181  cardfz  12080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator