Theorem cardf2 8345

Description: The cardinality function is a function with domain the well-orderable sets. Assuming AC, this is the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cardf2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardf2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-card 8341	. . . 4
2	1	funmpt2 5630	. . 3
3		rabab 3127	. . . 4
4	1	dmmpt 5507	. . . 4
5		intexrab 4611	. . . . 5
6	5	abbii 2591	. . . 4
7	3, 4, 6	3eqtr4i 2496	. . 3
8		df-fn 5596	. . 3
9	2, 7, 8	mpbir2an 920	. 2
10		simpr 461	. . . . . . . . 9
11		vex 3112	. . . . . . . . 9
12	10, 11	syl6eqelr 2554	. . . . . . . 8
13		intex 4608	. . . . . . . 8
14	12, 13	sylibr 212	. . . . . . 7
15		rabn0 3805	. . . . . . 7
16	14, 15	sylib 196	. . . . . 6
17		vex 3112	. . . . . . 7
18		breq2 4456	. . . . . . . 8
19	18	rexbidv 2968	. . . . . . 7
20	17, 19	elab 3246	. . . . . 6
21	16, 20	sylibr 212	. . . . 5
22		ssrab2 3584	. . . . . . 7
23		oninton 6635	. . . . . . 7
24	22, 14, 23	sylancr 663	. . . . . 6
25	10, 24	eqeltrd 2545	. . . . 5
26	21, 25	jca 532	. . . 4
27	26	ssopab2i 4780	. . 3
28		df-card 8341	. . . 4
29		df-mpt 4512	. . . 4
30	28, 29	eqtri 2486	. . 3
31		df-xp 5010	. . 3
32	27, 30, 31	3sstr4i 3542	. 2
33		dff2 6043	. 2
34	9, 32, 33	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cen 7533  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  cardon  8346  isnum2  8347  cardf  8946  smobeth  8982  hashkf  12407  hashgval  12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-card 8341