Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardf2 Unicode version

Theorem cardf2 8345
 Description: The cardinality function is a function with domain the well-orderable sets. Assuming AC, this is the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cardf2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardf2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-card 8341 . . . 4
21funmpt2 5630 . . 3
3 rabab 3127 . . . 4
41dmmpt 5507 . . . 4
5 intexrab 4611 . . . . 5
65abbii 2591 . . . 4
73, 4, 63eqtr4i 2496 . . 3
8 df-fn 5596 . . 3
92, 7, 8mpbir2an 920 . 2
10 simpr 461 . . . . . . . . 9
11 vex 3112 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqelr 2554 . . . . . . . 8
13 intex 4608 . . . . . . . 8
1412, 13sylibr 212 . . . . . . 7
15 rabn0 3805 . . . . . . 7
1614, 15sylib 196 . . . . . 6
17 vex 3112 . . . . . . 7
18 breq2 4456 . . . . . . . 8
1918rexbidv 2968 . . . . . . 7
2017, 19elab 3246 . . . . . 6
2116, 20sylibr 212 . . . . 5
22 ssrab2 3584 . . . . . . 7
23 oninton 6635 . . . . . . 7
2422, 14, 23sylancr 663 . . . . . 6
2510, 24eqeltrd 2545 . . . . 5
2621, 25jca 532 . . . 4
2726ssopab2i 4780 . . 3
28 df-card 8341 . . . 4
29 df-mpt 4512 . . . 4
3028, 29eqtri 2486 . . 3
31 df-xp 5010 . . 3
3227, 30, 313sstr4i 3542 . 2
33 dff2 6043 . 2
349, 32, 33mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589   cen 7533   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  cardon  8346  isnum2  8347  cardf  8946  smobeth  8982  hashkf  12407  hashgval  12408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-card 8341
 Copyright terms: Public domain W3C validator