MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardid2 Unicode version

Theorem cardid2 8355
Description: Any numerable set is equinumerous to its cardinal number. Proposition 10.5 of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardid2

Proof of Theorem cardid2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardval3 8354 . . 3
2 ssrab2 3584 . . . 4
3 fvex 5881 . . . . . 6
41, 3syl6eqelr 2554 . . . . 5
5 intex 4608 . . . . 5
64, 5sylibr 212 . . . 4
7 onint 6630 . . . 4
82, 6, 7sylancr 663 . . 3
91, 8eqeltrd 2545 . 2
10 breq1 4455 . . . 4
1110elrab 3257 . . 3
1211simprbi 464 . 2
139, 12syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  isnum3  8356  oncardid  8358  cardidm  8361  ficardom  8363  ficardid  8364  cardnn  8365  cardnueq0  8366  carden2a  8368  carden2b  8369  carddomi2  8372  sdomsdomcardi  8373  cardsdomelir  8375  cardsdomel  8376  infxpidm2  8415  dfac8b  8433  numdom  8440  alephnbtwn2  8474  alephsucdom  8481  infenaleph  8493  dfac12r  8547  cardacda  8599  pwsdompw  8605  cff1  8659  cfflb  8660  cflim2  8664  cfss  8666  cfslb  8667  domtriomlem  8843  cardid  8943  cardidg  8944  carden  8947  sdomsdomcard  8956  hargch  9072  gch2  9074  hashkf  12407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-en 7537  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator