MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardidm Unicode version

Theorem cardidm 8361
Description: The cardinality function is idempotent. Proposition 10.11 of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardidm

Proof of Theorem cardidm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardid2 8355 . . . . . . . 8
21ensymd 7586 . . . . . . 7
3 entr 7587 . . . . . . . 8
43expcom 435 . . . . . . 7
52, 4syl 16 . . . . . 6
6 entr 7587 . . . . . . . 8
76expcom 435 . . . . . . 7
81, 7syl 16 . . . . . 6
95, 8impbid 191 . . . . 5
109rabbidv 3101 . . . 4
1110inteqd 4291 . . 3
12 cardval3 8354 . . 3
13 cardon 8346 . . . 4
14 oncardval 8357 . . . 4
1513, 14mp1i 12 . . 3
1611, 12, 153eqtr4rd 2509 . 2
17 card0 8360 . . 3
18 ndmfv 5895 . . . 4
1918fveq2d 5875 . . 3
2017, 19, 183eqtr4a 2524 . 2
2116, 20pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  oncard  8362  cardlim  8374  cardiun  8384  alephnbtwn2  8474  infenaleph  8493  dfac12k  8548  pwsdompw  8605  cardcf  8653  cfeq0  8657  cfflb  8660  alephval2  8968  cfpwsdom  8980  gch2  9074  tskcard  9180  hashcard  12427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator