Theorem cardinfima 8499

Description: If a mapping to cardinals has an infinite value, then the union of its image is an infinite cardinal. Corollary 11.17 of [TakeutiZaring] p. 104. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cardinfima

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem cardinfima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. 2
2		isinfcard 8494	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	bicomi 202	. . . . . . . . . . . 12
4	3	simplbi 460	. . . . . . . . . . 11
5		ffn 5736	. . . . . . . . . . . 12
6		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . . . . . . . 16
7	6	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15
8		fnima 5704	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	7, 9	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . 14
11		elssuni 4279	. . . . . . . . . . . . . 14
12	10, 11	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
14	5, 13	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
15	4, 14	sylan9ssr 3517	. . . . . . . . . 10
16	15	anasss 647	. . . . . . . . 9
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8
18		carduniima 8498	. . . . . . . . . 10
19		iscard3 8495	. . . . . . . . . 10
20	18, 19	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9
21	20	adantrd 468	. . . . . . . 8
22	17, 21	jcad 533	. . . . . . 7
23		isinfcard 8494	. . . . . . 7
24	22, 23	syl6ib 226	. . . . . 6
25	24	exp4d 609	. . . . 5
26	25	imp 429	. . . 4
27	26	rexlimdv 2947	. . 3
28	27	expimpd 603	. 2
29	1, 28	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  U.cuni 4249  rancrn 5005  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700  ccrd 8337  cale 8338

This theorem is referenced by:  alephfplem4  8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342