MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardmin Unicode version

Theorem cardmin 8960
Description: The smallest ordinal that strictly dominates a set is a cardinal. (Contributed by NM, 28-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cardmin
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardmin
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numthcor 8895 . . 3
2 onintrab2 6637 . . 3
31, 2sylib 196 . 2
4 onelon 4908 . . . . . . . . 9
54ex 434 . . . . . . . 8
63, 5syl 16 . . . . . . 7
7 breq2 4456 . . . . . . . 8
87onnminsb 6639 . . . . . . 7
96, 8syli 37 . . . . . 6
10 vex 3112 . . . . . . 7
11 domtri 8952 . . . . . . 7
1210, 11mpan 670 . . . . . 6
139, 12sylibrd 234 . . . . 5
14 nfcv 2619 . . . . . . . 8
15 nfcv 2619 . . . . . . . 8
16 nfrab1 3038 . . . . . . . . 9
1716nfint 4296 . . . . . . . 8
1814, 15, 17nfbr 4496 . . . . . . 7
19 breq2 4456 . . . . . . 7
2018, 19onminsb 6634 . . . . . 6
211, 20syl 16 . . . . 5
2213, 21jctird 544 . . . 4
23 domsdomtr 7672 . . . 4
2422, 23syl6 33 . . 3
2524ralrimiv 2869 . 2
26 iscard 8377 . 2
273, 25, 26sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  |^|cint 4286   class class class wbr 4452   con0 4883  `cfv 5593   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator