MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardmin2 Unicode version

Theorem cardmin2 8400
Description: The smallest ordinal that strictly dominates a set is a cardinal, if it exists. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardmin2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cardmin2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onintrab2 6637 . . . 4
21biimpi 194 . . 3
32adantr 465 . . . . . 6
4 eloni 4893 . . . . . . . 8
5 ordelss 4899 . . . . . . . 8
64, 5sylan 471 . . . . . . 7
71, 6sylanb 472 . . . . . 6
8 ssdomg 7581 . . . . . 6
93, 7, 8sylc 60 . . . . 5
10 onelon 4908 . . . . . . . 8
111, 10sylanb 472 . . . . . . 7
12 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14
13 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14
14 nfrab1 3038 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514nfint 4296 . . . . . . . . . . . . . 14
1612, 13, 15nfbr 4496 . . . . . . . . . . . . 13
17 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17onminsb 6634 . . . . . . . . . . . 12
19 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19sylan 471 . . . . . . . . . . 11
21 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
2221elrab 3257 . . . . . . . . . . . . 13
23 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . 14
24 onnmin 6638 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 24mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12
2726expcom 435 . . . . . . . . . . 11
2820, 27syl 16 . . . . . . . . . 10
2928impancom 440 . . . . . . . . 9
3029con2d 115 . . . . . . . 8
3130impancom 440 . . . . . . 7
3211, 31mpd 15 . . . . . 6
33 ensym 7584 . . . . . 6
3432, 33nsyl 121 . . . . 5
35 brsdom 7558 . . . . 5
369, 34, 35sylanbrc 664 . . . 4
3736ralrimiva 2871 . . 3
38 iscard 8377 . . 3
392, 37, 38sylanbrc 664 . 2
40 vprc 4590 . . . . . 6
41 inteq 4289 . . . . . . . 8
42 int0 4300 . . . . . . . 8
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . 7
4443eleq1d 2526 . . . . . 6
4540, 44mtbiri 303 . . . . 5
46 fvex 5881 . . . . . 6
47 eleq1 2529 . . . . . 6
4846, 47mpbii 211 . . . . 5
4945, 48nsyl 121 . . . 4
5049necon2ai 2692 . . 3
51 rabn0 3805 . . 3
5250, 51sylib 196 . 2
5339, 52impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator