MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Unicode version

Theorem cardnn 8270
Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 6615 . . 3
2 onenon 8256 . . 3
3 cardid2 8260 . . 3
41, 2, 33syl 20 . 2
5 nnfi 7638 . . . 4
6 ficardom 8268 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 nneneq 7628 . . 3
97, 8mpancom 669 . 2
104, 9mpbid 210 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1370  e.wcel 1758   class class class wbr 4409   con0 4836  domcdm 4957  `cfv 5537   com 6609   cen 7441   cfn 7444   ccrd 8242
This theorem is referenced by:  card1  8275  cardennn  8290  cardsucnn  8292  nnsdomel  8297  pm54.43lem  8306  iscard3  8400  nnacda  8507  ficardun  8508  ficardun2  8509  pwsdompw  8510  ackbij2  8549  sdom2en01  8608  fin23lem22  8633  fin1a2lem9  8714  ficard  8866  cfpwsdom  8885  cardfz  11937  hashgval2  12299  hashdom  12300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-om 6610  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-card 8246
  Copyright terms: Public domain W3C validator