MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsdomel Unicode version

Theorem cardsdomel 8376
Description: A cardinal strictly dominates its members. Equivalent to Proposition 10.37 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cardsdomel

Proof of Theorem cardsdomel
StepHypRef Expression
1 cardid2 8355 . . . . . . 7
21ensymd 7586 . . . . . 6
3 sdomentr 7671 . . . . . 6
42, 3sylan2 474 . . . . 5
5 ssdomg 7581 . . . . . . . 8
6 cardon 8346 . . . . . . . . 9
7 domtriord 7683 . . . . . . . . 9
86, 7mpan 670 . . . . . . . 8
95, 8sylibd 214 . . . . . . 7
109con2d 115 . . . . . 6
11 ontri1 4917 . . . . . . . 8
126, 11mpan 670 . . . . . . 7
1312con2bid 329 . . . . . 6
1410, 13sylibrd 234 . . . . 5
154, 14syl5 32 . . . 4
1615expcomd 438 . . 3
1716imp 429 . 2
18 cardsdomelir 8375 . 2
1917, 18impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  iscard  8377  cardval2  8393  infxpenlem  8412  alephnbtwn  8473  alephnbtwn2  8474  alephord2  8478  alephsdom  8488  pwsdompw  8605  inaprc  9235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator