MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  carduni Unicode version

Theorem carduni 8383
Description: The union of a set of cardinals is a cardinal. Theorem 18.14 of [Monk1] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
carduni
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem carduni
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2 id 22 . . . . . . . . . 10
31, 2eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
43rspcv 3206 . . . . . . . 8
5 cardon 8346 . . . . . . . . 9
6 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
75, 6mpbii 211 . . . . . . . 8
84, 7syl6com 35 . . . . . . 7
98ssrdv 3509 . . . . . 6
10 ssonuni 6622 . . . . . 6
119, 10syl5 32 . . . . 5
1211imp 429 . . . 4
13 cardonle 8359 . . . 4
1412, 13syl 16 . . 3
15 cardon 8346 . . . . 5
1615onirri 4989 . . . 4
17 eluni 4252 . . . . . . . 8
18 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2118, 20syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2522, 24syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 carddom2 8379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2825, 26, 27syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3229, 31sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
3635com3r 79 . . . . . . . . . . . 12
374, 36syld 44 . . . . . . . . . . 11
3837com4r 86 . . . . . . . . . 10
3938imp 429 . . . . . . . . 9
4039exlimiv 1722 . . . . . . . 8
4117, 40sylbi 195 . . . . . . 7
4241com13 80 . . . . . 6
4342imp 429 . . . . 5
4412, 43sylancom 667 . . . 4
4516, 44mtoi 178 . . 3
4615onordi 4987 . . . 4
47 eloni 4893 . . . . 5
4812, 47syl 16 . . . 4
49 ordtri4 4920 . . . 4
5046, 48, 49sylancr 663 . . 3
5114, 45, 50mpbir2and 922 . 2
5251ex 434 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cdom 7534   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  cardiun  8384  carduniima  8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341
  Copyright terms: Public domain W3C validator