MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1un Unicode version

Theorem cats1un 12701
Description: Express a word with an extra symbol as the union of the word and the new value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
cats1un

Proof of Theorem cats1un
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 12624 . . . . 5
2 wrdf 12553 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 ccatws1len 12626 . . . . . . 7
54oveq2d 6312 . . . . . 6
6 lencl 12562 . . . . . . . . 9
76adantr 465 . . . . . . . 8
8 nn0uz 11144 . . . . . . . 8
97, 8syl6eleq 2555 . . . . . . 7
10 fzosplitsn 11918 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
125, 11eqtrd 2498 . . . . 5
1312feq2d 5723 . . . 4
143, 13mpbid 210 . . 3
15 ffn 5736 . . 3
1614, 15syl 16 . 2
17 wrdf 12553 . . . . 5
1817adantr 465 . . . 4
19 eqid 2457 . . . . . 6
20 fsng 6070 . . . . . 6
2119, 20mpbiri 233 . . . . 5
226, 21sylan 471 . . . 4
23 fzonel 11841 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 disjsn 4090 . . . . 5
2624, 25sylibr 212 . . . 4
27 fun 5753 . . . 4
2818, 22, 26, 27syl21anc 1227 . . 3
29 ffn 5736 . . 3
3028, 29syl 16 . 2
31 elun 3644 . . 3
32 ccats1val1 12630 . . . . . 6
33323expa 1196 . . . . 5
34 simpr 461 . . . . . . . 8
35 nelne2 2787 . . . . . . . 8
3634, 23, 35sylancl 662 . . . . . . 7
3736necomd 2728 . . . . . 6
38 fvunsn 6103 . . . . . 6
3937, 38syl 16 . . . . 5
4033, 39eqtr4d 2501 . . . 4
41 fvex 5881 . . . . . . . . 9
4241a1i 11 . . . . . . . 8
43 elex 3118 . . . . . . . . 9
4443adantl 466 . . . . . . . 8
45 fdm 5740 . . . . . . . . . . 11
4618, 45syl 16 . . . . . . . . . 10
4746eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
4823, 47mtbiri 303 . . . . . . . 8
49 fsnunfv 6111 . . . . . . . 8
5042, 44, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . 7
51 simpl 457 . . . . . . . . 9
52 s1cl 12614 . . . . . . . . . 10
5352adantl 466 . . . . . . . . 9
54 s1len 12617 . . . . . . . . . . . 12
55 1nn 10572 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10
58 lbfzo0 11862 . . . . . . . . . 10
5957, 58sylibr 212 . . . . . . . . 9
60 ccatval3 12597 . . . . . . . . 9
6151, 53, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . 8
62 s1fv 12619 . . . . . . . . 9
6362adantl 466 . . . . . . . 8
6461, 63eqtrd 2498 . . . . . . 7
657nn0cnd 10879 . . . . . . . . 9
6665addid2d 9802 . . . . . . . 8
6766fveq2d 5875 . . . . . . 7
6850, 64, 673eqtr2rd 2505 . . . . . 6
69 elsni 4054 . . . . . . . 8
7069fveq2d 5875 . . . . . . 7
7169fveq2d 5875 . . . . . . 7
7270, 71eqeq12d 2479 . . . . . 6
7368, 72syl5ibrcom 222 . . . . 5
7473imp 429 . . . 4
7540, 74jaodan 785 . . 3
7631, 75sylan2b 475 . 2
7716, 30, 76eqfnfvd 5984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cn 10561   cn0 10820   cuz 11110   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536  <"cs1 12537
This theorem is referenced by:  s2prop  12862  s4prop  12863  pgpfaclem1  17132  wwlknext  24724  vdegp1ai  24984  vdegp1bi  24985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544  df-s1 12545
  Copyright terms: Public domain W3C validator