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Theorem cau3lem 13187
Description: Lemma for cau3 13188. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3lem.1
cau3lem.2
cau3lem.3
cau3lem.4
cau3lem.5
cau3lem.6
cau3lem.7
Assertion
Ref Expression
cau3lem
Distinct variable groups:   , ,   , , ,   , , ,   , , , ,   , , ,   , ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cau3lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . . . . . 6
21anbi2d 703 . . . . 5
32rexralbidv 2976 . . . 4
43cbvralv 3084 . . 3
5 rphalfcl 11273 . . . . . . 7
6 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
76anbi2d 703 . . . . . . . . 9
87rexralbidv 2976 . . . . . . . 8
98rspcv 3206 . . . . . . 7
105, 9syl 16 . . . . . 6
1110adantl 466 . . . . 5
12 cau3lem.2 . . . . . . . . . 10
1312ralimi 2850 . . . . . . . . 9
14 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . . 13
15 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16 cau3lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1815oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1918fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2019breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2117, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
2514, 24syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12
2625expdimp 437 . . . . . . . . . . 11
27 cau3lem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . 14
29 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
31 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 cau3lem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3433rspcva 3208 . . . . . . . . . . . . 13
3530, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
3635adantll 713 . . . . . . . . . . 11
3726, 36jctild 543 . . . . . . . . . 10
38 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
39 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
40 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
41 cau3lem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4238, 39, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4342breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
46 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4746rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
48 cau3lem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4938, 45, 39, 40, 47, 48syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5044, 49sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5150expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5251impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5352an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5453anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5554expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5655ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5958expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 uzss 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6359, 62sylan9 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . 13
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7014, 69syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11
7170expdimp 437 . . . . . . . . . 10
7237, 71mpdd 40 . . . . . . . . 9
7313, 72sylan2 474 . . . . . . . 8
7473imdistanda 693 . . . . . . 7
75 r19.26 2984 . . . . . . 7
76 r19.26 2984 . . . . . . 7
7774, 75, 763imtr4g 270 . . . . . 6
7877reximdva 2932 . . . . 5
7911, 78syld 44 . . . 4
8079ralrimdva 2875 . . 3
814, 80syl5bi 217 . 2
82 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
8331oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
8483fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
8584breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
8682, 85raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . 11
8786rspcv 3206 . . . . . . . . . 10
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
89 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
9089oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
9190fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
9291breq1d 4462 . . . . . . . . . . 11
9392cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10
9434anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13
9594anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12
96 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
97 cau3lem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
99983expia 1198 . . . . . . . . . . . . 13
10099ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . 12
10195, 96, 100sylc 60 . . . . . . . . . . 11
102 ralbi 2988 . . . . . . . . . . 11
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . 10
10493, 103syl5bb 257 . . . . . . . . 9
10588, 104sylibd 214 . . . . . . . 8
10613, 105sylan2 474 . . . . . . 7
107106imdistanda 693 . . . . . 6
10830, 107sylan2 474 . . . . 5
109 r19.26 2984 . . . . 5
110108, 76, 1093imtr4g 270 . . . 4
111110reximdva 2932 . . 3
112111ralimdv 2867 . 2
11381, 112impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512   clt 9649   cdiv 10231  2c2 10610   cz 10889   cuz 11110   crp 11249
This theorem is referenced by:  cau3  13188  iscau3  21717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-2 10619  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250
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