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Theorem caubnd 13191
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1
Assertion
Ref Expression
caubnd
Distinct variable groups:   , , , ,   ,M, ,   , , , ,

Proof of Theorem caubnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 13111 . . . 4
21ralimi 2850 . . 3
3 cau3.1 . . . . . . 7
43r19.29uz 13183 . . . . . 6
54ex 434 . . . . 5
65ralimdv 2867 . . . 4
73caubnd2 13190 . . . 4
86, 7syl6 33 . . 3
9 fzssuz 11753 . . . . . . . 8
109, 3sseqtr4i 3536 . . . . . . 7
11 ssralv 3563 . . . . . . 7
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6
13 fzfi 12082 . . . . . . . 8
14 fimaxre3 10517 . . . . . . . 8
1513, 14mpan 670 . . . . . . 7
16 peano2re 9774 . . . . . . . . . 10
1716adantl 466 . . . . . . . . 9
18 ltp1 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
2016adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 lelttr 9696 . . . . . . . . . . . . . . 15
2220, 21mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . . . . 14
2319, 22mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . 13
2423expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
2524ralimdv 2867 . . . . . . . . . . 11
2625impcom 430 . . . . . . . . . 10
27 ralim 2846 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9
29 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
3029ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10
3130rspcev 3210 . . . . . . . . 9
3217, 28, 31syl6an 545 . . . . . . . 8
3332rexlimdva 2949 . . . . . . 7
3415, 33mpd 15 . . . . . 6
3512, 34syl 16 . . . . 5
36 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37363adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40 ifcl 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
42413adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4438, 39, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4537, 44mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 max2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47463adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5038, 48, 42, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5147, 50mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5245, 51jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . 15
53523expia 1198 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . 13
55 ralim 2846 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55syl6 33 . . . . . . . . . . . 12
57 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
6141, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6256, 61syl6d 69 . . . . . . . . . . 11
63 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
643, 63eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6564sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6664sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 uztric 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6865, 66, 67syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7069, 3syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71 elfzuzb 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7271baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7370, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7473orbi1d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7568, 74mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77 pm3.48 833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7876, 77syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978alimdv 1709 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8280, 81anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 19.26 1680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 df-ral 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15
8679, 84, 853imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . 14
87863impib 1194 . . . . . . . . . . . . 13
8887imim1i 58 . . . . . . . . . . . 12
89883expd 1213 . . . . . . . . . . 11
9062, 89syl6 33 . . . . . . . . . 10
9190com23 78 . . . . . . . . 9
9291expimpd 603 . . . . . . . 8
9392com3r 79 . . . . . . 7
9493com34 83 . . . . . 6
9594rexlimdv 2947 . . . . 5
9635, 95mpd 15 . . . 4
9796rexlimdvv 2955 . . 3
982, 8, 97sylsyld 56 . 2
9998imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701   cabs 13067
This theorem is referenced by:  climbdd  13494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
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