Theorem caucvgb 13502

Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgb.1

Assertion

Ref	Expression
caucvgb

Distinct variable groups:   ,,,   ,M,,   ,,,   ,

Proof of Theorem caucvgb

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldm2g 5204	. . . 4
2	1	ibi 241	. . 3
3		df-br 4453	. . . . 5
4		caucvgb.1	. . . . . . . 8
5		simpll 753	. . . . . . . 8
6		1rp 11253	. . . . . . . . 9
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8
8		eqidd 2458	. . . . . . . 8
9		simpr 461	. . . . . . . 8
10	4, 5, 7, 8, 9	climi 13333	. . . . . . 7
11		simpl 457	. . . . . . . . 9
12	11	ralimi 2850	. . . . . . . 8
13	12	reximi 2925	. . . . . . 7
14	10, 13	syl 16	. . . . . 6
15	14	ex 434	. . . . 5
16	3, 15	syl5bir 218	. . . 4
17	16	exlimdv 1724	. . 3
18	2, 17	syl5 32	. 2
19		simpl 457	. . . . . . 7
20	19	ralimi 2850	. . . . . 6
21	20	reximi 2925	. . . . 5
22	21	ralimi 2850	. . . 4
23		fveq2 5871	. . . . . . . 8
24	23	raleqdv 3060	. . . . . . 7
25	24	cbvrexv 3085	. . . . . 6
26	25	a1i 11	. . . . 5
27	26	rspcv 3206	. . . 4
28	6, 22, 27	mpsyl 63	. . 3
29	28	a1i 11	. 2
30		eluzelz 11119	. . . . . . . . . 10
31	30, 4	eleq2s 2565	. . . . . . . . 9
32		eqid 2457	. . . . . . . . . 10
33	32	climcau 13493	. . . . . . . . 9
34	31, 33	sylan 471	. . . . . . . 8
35	32	r19.29uz 13183	. . . . . . . . . 10
36	35	ex 434	. . . . . . . . 9
37	36	ralimdv 2867	. . . . . . . 8
38	34, 37	mpan9 469	. . . . . . 7
39	38	an32s 804	. . . . . 6
40	39	adantll 713	. . . . 5
41		simplrr 762	. . . . . . . 8
42		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
43	42	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
44	43	rspccva 3209	. . . . . . . 8
45	41, 44	sylan 471	. . . . . . 7
46		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . 12
48	42	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . 12
52	47, 51	sylib 196	. . . . . . . . . . 11
53	52	reximi 2925	. . . . . . . . . 10
54	53	ralimi 2850	. . . . . . . . 9
55	54	adantl 466	. . . . . . . 8
56		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
57		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	57	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
60	59	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . 12
61	56, 60	raleqbidv 3068	. . . . . . . . . . 11
62	61	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10
63		breq2 4456	. . . . . . . . . . 11
64	63	rexralbidv 2976	. . . . . . . . . 10
65	62, 64	syl5bb 257	. . . . . . . . 9
66	65	cbvralv 3084	. . . . . . . 8
67	55, 66	sylib 196	. . . . . . 7
68		simpll 753	. . . . . . 7
69	32, 45, 67, 68	caucvg 13501	. . . . . 6
70	69	adantlll 717	. . . . 5
71	40, 70	impbida 832	. . . 4
72	4, 32	cau4 13189	. . . . 5
73	72	ad2antrl 727	. . . 4
74	71, 73	bitr4d 256	. . 3
75	74	rexlimdvaa 2950	. 2
76	18, 29, 75	pm5.21ndd 354	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  1c1 9514  clt 9649  cmin 9828  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cabs 13067  cli 13307

This theorem is referenced by:  serf0  13503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312