MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgb Unicode version

Theorem caucvgb 13502
Description: A function is convergent if and only if it is Cauchy. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgb.1
Assertion
Ref Expression
caucvgb
Distinct variable groups:   , , ,   ,M, ,   , , ,   ,

Proof of Theorem caucvgb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5204 . . . 4
21ibi 241 . . 3
3 df-br 4453 . . . . 5
4 caucvgb.1 . . . . . . . 8
5 simpll 753 . . . . . . . 8
6 1rp 11253 . . . . . . . . 9
76a1i 11 . . . . . . . 8
8 eqidd 2458 . . . . . . . 8
9 simpr 461 . . . . . . . 8
104, 5, 7, 8, 9climi 13333 . . . . . . 7
11 simpl 457 . . . . . . . . 9
1211ralimi 2850 . . . . . . . 8
1312reximi 2925 . . . . . . 7
1410, 13syl 16 . . . . . 6
1514ex 434 . . . . 5
163, 15syl5bir 218 . . . 4
1716exlimdv 1724 . . 3
182, 17syl5 32 . 2
19 simpl 457 . . . . . . 7
2019ralimi 2850 . . . . . 6
2120reximi 2925 . . . . 5
2221ralimi 2850 . . . 4
23 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2423raleqdv 3060 . . . . . . 7
2524cbvrexv 3085 . . . . . 6
2625a1i 11 . . . . 5
2726rspcv 3206 . . . 4
286, 22, 27mpsyl 63 . . 3
2928a1i 11 . 2
30 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
3130, 4eleq2s 2565 . . . . . . . . 9
32 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
3332climcau 13493 . . . . . . . . 9
3431, 33sylan 471 . . . . . . . 8
3532r19.29uz 13183 . . . . . . . . . 10
3635ex 434 . . . . . . . . 9
3736ralimdv 2867 . . . . . . . 8
3834, 37mpan9 469 . . . . . . 7
3938an32s 804 . . . . . 6
4039adantll 713 . . . . 5
41 simplrr 762 . . . . . . . 8
42 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
4342eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4443rspccva 3209 . . . . . . . 8
4541, 44sylan 471 . . . . . . 7
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
4746ralimi 2850 . . . . . . . . . . . 12
4842oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
5049breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . 13
5150cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . 12
5247, 51sylib 196 . . . . . . . . . . 11
5352reximi 2925 . . . . . . . . . 10
5453ralimi 2850 . . . . . . . . 9
5554adantl 466 . . . . . . . 8
56 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
57 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
5857oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
5958fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . 13
6059breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
6156, 60raleqbidv 3068 . . . . . . . . . . 11
6261cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10
63 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
6463rexralbidv 2976 . . . . . . . . . 10
6562, 64syl5bb 257 . . . . . . . . 9
6665cbvralv 3084 . . . . . . . 8
6755, 66sylib 196 . . . . . . 7
68 simpll 753 . . . . . . 7
6932, 45, 67, 68caucvg 13501 . . . . . 6
7069adantlll 717 . . . . 5
7140, 70impbida 832 . . . 4
724, 32cau4 13189 . . . . 5
7372ad2antrl 727 . . . 4
7471, 73bitr4d 256 . . 3
7574rexlimdvaa 2950 . 2
7618, 29, 75pm5.21ndd 354 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cabs 13067   cli 13307
This theorem is referenced by:  serf0  13503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312
  Copyright terms: Public domain W3C validator