Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvg Unicode version

Theorem caurcvg 13499
 Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvg.1
caurcvg.3
caurcvg.4
Assertion
Ref Expression
caurcvg
Distinct variable groups:   ,,,   ,M,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem caurcvg
StepHypRef Expression
1 caurcvg.1 . . . . . 6
2 uzssz 11129 . . . . . 6
31, 2eqsstri 3533 . . . . 5
4 zssre 10896 . . . . 5
53, 4sstri 3512 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 caurcvg.3 . . 3
8 1rp 11253 . . . . . 6
98ne0ii 3791 . . . . 5
10 caurcvg.4 . . . . 5
11 r19.2z 3918 . . . . 5
129, 10, 11sylancr 663 . . . 4
13 eluzel2 11115 . . . . . . . . 9
1413, 1eleq2s 2565 . . . . . . . 8
151uzsup 11990 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
1716a1d 25 . . . . . 6
1817rexlimiv 2943 . . . . 5
1918rexlimivw 2946 . . . 4
2012, 19syl 16 . . 3
213sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
223sseli 3499 . . . . . . . . . . . 12
23 eluz 11123 . . . . . . . . . . . 12
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
2524biimprd 223 . . . . . . . . . 10
2625expimpd 603 . . . . . . . . 9
2726imim1d 75 . . . . . . . 8
2827exp4a 606 . . . . . . 7
2928ralimdv2 2864 . . . . . 6
3029reximia 2923 . . . . 5
3130ralimi 2850 . . . 4
3210, 31syl 16 . . 3
336, 7, 20, 32caurcvgr 13496 . 2
3414a1d 25 . . . . . 6
3534rexlimiv 2943 . . . . 5
3635rexlimivw 2946 . . . 4
3712, 36syl 16 . . 3
38 ax-resscn 9570 . . . 4
39 fss 5744 . . . 4
407, 38, 39sylancl 662 . . 3
411, 37, 40rlimclim 13369 . 2
4233, 41mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  1`c1 9514   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cabs 13067   clsp 13293   cli 13307   crli 13308 This theorem is referenced by:  caurcvg2  13500  mbflimlem  22074  ioodvbdlimc1lem1  31728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ico 11564  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312
 Copyright terms: Public domain W3C validator