MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cbvprod Unicode version

Theorem cbvprod 13722
Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvprod.1
cbvprod.2
cbvprod.3
cbvprod.4
cbvprod.5
Assertion
Ref Expression
cbvprod
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cbvprod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 236 . . . . . 6
2 cbvprod.2 . . . . . . . . . . . . . 14
32nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . 13
4 cbvprod.4 . . . . . . . . . . . . 13
5 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
63, 4, 5nfif 3970 . . . . . . . . . . . 12
7 cbvprod.3 . . . . . . . . . . . . . 14
87nfcri 2612 . . . . . . . . . . . . 13
9 cbvprod.5 . . . . . . . . . . . . 13
10 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
118, 9, 10nfif 3970 . . . . . . . . . . . 12
12 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
13 cbvprod.1 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . . 12
156, 11, 14cbvmpt 4542 . . . . . . . . . . 11
16 seqeq3 12112 . . . . . . . . . . 11
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1817breq1i 4459 . . . . . . . . 9
1918anbi2i 694 . . . . . . . 8
2019exbii 1667 . . . . . . 7
2120rexbii 2959 . . . . . 6
22 seqeq3 12112 . . . . . . . 8
2315, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
2423breq1i 4459 . . . . . 6
251, 21, 243anbi123i 1185 . . . . 5
2625rexbii 2959 . . . 4
274, 9, 13cbvcsb 3439 . . . . . . . . . . 11
2827mpteq2i 4535 . . . . . . . . . 10
29 seqeq3 12112 . . . . . . . . . 10
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9
3130fveq1i 5872 . . . . . . . 8
3231eqeq2i 2475 . . . . . . 7
3332anbi2i 694 . . . . . 6
3433exbii 1667 . . . . 5
3534rexbii 2959 . . . 4
3626, 35orbi12i 521 . . 3
3736iotabii 5578 . 2
38 df-prod 13713 . 2
39 df-prod 13713 . 2
4037, 38, 393eqtr4i 2496 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  F/_wnfc 2605  =/=wne 2652  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  cbvprodv  13723  cbvprodi  13724  fproddivf  31588  fprodsplitf  31589  fprodcllemf  31591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator