MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatass Unicode version

Theorem ccatass 12605
Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatass

Proof of Theorem ccatass
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 12593 . . . . 5
2 ccatcl 12593 . . . . 5
31, 2stoic3 1609 . . . 4
4 wrdf 12553 . . . 4
5 ffn 5736 . . . 4
63, 4, 53syl 20 . . 3
7 ccatlen 12594 . . . . . . 7
81, 7stoic3 1609 . . . . . 6
9 ccatlen 12594 . . . . . . . 8
1093adant3 1016 . . . . . . 7
1110oveq1d 6311 . . . . . 6
128, 11eqtrd 2498 . . . . 5
1312oveq2d 6312 . . . 4
1413fneq2d 5677 . . 3
156, 14mpbid 210 . 2
16 simp1 996 . . . . 5
17 ccatcl 12593 . . . . . 6
18173adant1 1014 . . . . 5
19 ccatcl 12593 . . . . 5
2016, 18, 19syl2anc 661 . . . 4
21 wrdf 12553 . . . 4
22 ffn 5736 . . . 4
2320, 21, 223syl 20 . . 3
24 ccatlen 12594 . . . . . . . 8
25243adant1 1014 . . . . . . 7
2625oveq2d 6312 . . . . . 6
27 ccatlen 12594 . . . . . . 7
2816, 18, 27syl2anc 661 . . . . . 6
29 lencl 12562 . . . . . . . . 9
30293ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
3130nn0cnd 10879 . . . . . . 7
32 lencl 12562 . . . . . . . . 9
33323ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
3433nn0cnd 10879 . . . . . . 7
35 lencl 12562 . . . . . . . . 9
36353ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
3736nn0cnd 10879 . . . . . . 7
3831, 34, 37addassd 9639 . . . . . 6
3926, 28, 383eqtr4d 2508 . . . . 5
4039oveq2d 6312 . . . 4
4140fneq2d 5677 . . 3
4223, 41mpbid 210 . 2
4330nn0zd 10992 . . . 4
44 fzospliti 11857 . . . . 5
4544ancoms 453 . . . 4
4643, 45sylan 471 . . 3
47 simpl1 999 . . . . . 6
48 simpl2 1000 . . . . . 6
49 simpr 461 . . . . . 6
50 ccatval1 12595 . . . . . 6
5147, 48, 49, 50syl3anc 1228 . . . . 5
5213adant3 1016 . . . . . . 7
5352adantr 465 . . . . . 6
54 simpl3 1001 . . . . . 6
55 uzid 11124 . . . . . . . . . . 11
5643, 55syl 16 . . . . . . . . . 10
57 uzaddcl 11166 . . . . . . . . . 10
5856, 33, 57syl2anc 661 . . . . . . . . 9
59 fzoss2 11853 . . . . . . . . 9
6058, 59syl 16 . . . . . . . 8
6110oveq2d 6312 . . . . . . . 8
6260, 61sseqtr4d 3540 . . . . . . 7
6362sselda 3503 . . . . . 6
64 ccatval1 12595 . . . . . 6
6553, 54, 63, 64syl3anc 1228 . . . . 5
6618adantr 465 . . . . . 6
67 ccatval1 12595 . . . . . 6
6847, 66, 49, 67syl3anc 1228 . . . . 5
6951, 65, 683eqtr4d 2508 . . . 4
7033nn0zd 10992 . . . . . . 7
7143, 70zaddcld 10998 . . . . . 6
72 fzospliti 11857 . . . . . . 7
7372ancoms 453 . . . . . 6
7471, 73sylan 471 . . . . 5
75 simpl1 999 . . . . . . . . 9
76 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
77 simpr 461 . . . . . . . . 9
78 ccatval2 12596 . . . . . . . . 9
7975, 76, 77, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8
80 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
81 fzosubel3 11877 . . . . . . . . . . 11
8281ancoms 453 . . . . . . . . . 10
8370, 82sylan 471 . . . . . . . . 9
84 ccatval1 12595 . . . . . . . . 9
8576, 80, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . 8
8679, 85eqtr4d 2501 . . . . . . 7
8752adantr 465 . . . . . . . 8
88 fzoss1 11852 . . . . . . . . . . . 12
89 nn0uz 11144 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89eleq2s 2565 . . . . . . . . . . 11
9130, 90syl 16 . . . . . . . . . 10
9291, 61sseqtr4d 3540 . . . . . . . . 9
9392sselda 3503 . . . . . . . 8
9487, 80, 93, 64syl3anc 1228 . . . . . . 7
9518adantr 465 . . . . . . . 8
96 uzid 11124 . . . . . . . . . . . . 13
9771, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12
98 uzaddcl 11166 . . . . . . . . . . . 12
9997, 36, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
100 fzoss2 11853 . . . . . . . . . . 11
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . 10
10226, 38eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
103102oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
104101, 103sseqtr4d 3540 . . . . . . . . 9
105104sselda 3503 . . . . . . . 8
106 ccatval2 12596 . . . . . . . 8
10775, 95, 105, 106syl3anc 1228 . . . . . . 7
10886, 94, 1073eqtr4d 2508 . . . . . 6
10910oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
110109adantr 465 . . . . . . . . . 10
111 elfzoelz 11829 . . . . . . . . . . . . 13
112111zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11
11431adantr 465 . . . . . . . . . . 11
11534adantr 465 . . . . . . . . . . 11
116113, 114, 115subsub4d 9985 . . . . . . . . . 10
117110, 116eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
118117fveq2d 5875 . . . . . . . 8
119 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
120 simpl3 1001 . . . . . . . . 9
12138oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
122121eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
123122biimpa 484 . . . . . . . . . 10
12443adantr 465 . . . . . . . . . 10
12570adantr 465 . . . . . . . . . 10
12636nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . 12
12770, 126zaddcld 10998 . . . . . . . . . . 11
128127adantr 465 . . . . . . . . . 10
129 fzosubel2 11876 . . . . . . . . . 10
130123, 124, 125, 128, 129syl13anc 1230 . . . . . . . . 9
131 ccatval2 12596 . . . . . . . . 9
132119, 120, 130, 131syl3anc 1228 . . . . . . . 8
133118, 132eqtr4d 2501 . . . . . . 7
13452adantr 465 . . . . . . . 8
13510, 11oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
136135eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
137136biimpar 485 . . . . . . . 8
138 ccatval2 12596 . . . . . . . 8
139134, 120, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . . 7
140 simpl1 999 . . . . . . . 8
14118adantr 465 . . . . . . . 8
142 fzoss1 11852 . . . . . . . . . . 11
14358, 142syl 16 . . . . . . . . . 10
144143, 103sseqtr4d 3540 . . . . . . . . 9
145144sselda 3503 . . . . . . . 8
146140, 141, 145, 106syl3anc 1228 . . . . . . 7
147133, 139, 1463eqtr4d 2508 . . . . . 6
148108, 147jaodan 785 . . . . 5
14974, 148syldan 470 . . . 4
15069, 149jaodan 785 . . 3
15146, 150syldan 470 . 2
15215, 42, 151eqfnfvd 5984 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfzo 11824   chash 12405  Wordcword 12534   cconcat 12536
This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  12634  cats1cat  12826  frmdmnd  16027  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgredlemc  16763  efgcpbllemb  16773  numclwlk1lem2foa  25091  numclwlk1lem2fo  25095  signstfvc  28531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701