Theorem ccatass 12605

Description: Associative law for concatenation of words. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatass

Proof of Theorem ccatass

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 12593	. . . . 5
2		ccatcl 12593	. . . . 5
3	1, 2	stoic3 1609	. . . 4
4		wrdf 12553	. . . 4
5		ffn 5736	. . . 4
6	3, 4, 5	3syl 20	. . 3
7		ccatlen 12594	. . . . . . 7
8	1, 7	stoic3 1609	. . . . . 6
9		ccatlen 12594	. . . . . . . 8
10	9	3adant3 1016	. . . . . . 7
11	10	oveq1d 6311	. . . . . 6
12	8, 11	eqtrd 2498	. . . . 5
13	12	oveq2d 6312	. . . 4
14	13	fneq2d 5677	. . 3
15	6, 14	mpbid 210	. 2
16		simp1 996	. . . . 5
17		ccatcl 12593	. . . . . 6
18	17	3adant1 1014	. . . . 5
19		ccatcl 12593	. . . . 5
20	16, 18, 19	syl2anc 661	. . . 4
21		wrdf 12553	. . . 4
22		ffn 5736	. . . 4
23	20, 21, 22	3syl 20	. . 3
24		ccatlen 12594	. . . . . . . 8
25	24	3adant1 1014	. . . . . . 7
26	25	oveq2d 6312	. . . . . 6
27		ccatlen 12594	. . . . . . 7
28	16, 18, 27	syl2anc 661	. . . . . 6
29		lencl 12562	. . . . . . . . 9
30	29	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8
31	30	nn0cnd 10879	. . . . . . 7
32		lencl 12562	. . . . . . . . 9
33	32	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8
34	33	nn0cnd 10879	. . . . . . 7
35		lencl 12562	. . . . . . . . 9
36	35	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8
37	36	nn0cnd 10879	. . . . . . 7
38	31, 34, 37	addassd 9639	. . . . . 6
39	26, 28, 38	3eqtr4d 2508	. . . . 5
40	39	oveq2d 6312	. . . 4
41	40	fneq2d 5677	. . 3
42	23, 41	mpbid 210	. 2
43	30	nn0zd 10992	. . . 4
44		fzospliti 11857	. . . . 5
45	44	ancoms 453	. . . 4
46	43, 45	sylan 471	. . 3
47		simpl1 999	. . . . . 6
48		simpl2 1000	. . . . . 6
49		simpr 461	. . . . . 6
50		ccatval1 12595	. . . . . 6
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1228	. . . . 5
52	1	3adant3 1016	. . . . . . 7
53	52	adantr 465	. . . . . 6
54		simpl3 1001	. . . . . 6
55		uzid 11124	. . . . . . . . . . 11
56	43, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10
57		uzaddcl 11166	. . . . . . . . . 10
58	56, 33, 57	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
59		fzoss2 11853	. . . . . . . . 9
60	58, 59	syl 16	. . . . . . . 8
61	10	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
62	60, 61	sseqtr4d 3540	. . . . . . 7
63	62	sselda 3503	. . . . . 6
64		ccatval1 12595	. . . . . 6
65	53, 54, 63, 64	syl3anc 1228	. . . . 5
66	18	adantr 465	. . . . . 6
67		ccatval1 12595	. . . . . 6
68	47, 66, 49, 67	syl3anc 1228	. . . . 5
69	51, 65, 68	3eqtr4d 2508	. . . 4
70	33	nn0zd 10992	. . . . . . 7
71	43, 70	zaddcld 10998	. . . . . 6
72		fzospliti 11857	. . . . . . 7
73	72	ancoms 453	. . . . . 6
74	71, 73	sylan 471	. . . . 5
75		simpl1 999	. . . . . . . . 9
76		simpl2 1000	. . . . . . . . 9
77		simpr 461	. . . . . . . . 9
78		ccatval2 12596	. . . . . . . . 9
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
80		simpl3 1001	. . . . . . . . 9
81		fzosubel3 11877	. . . . . . . . . . 11
82	81	ancoms 453	. . . . . . . . . 10
83	70, 82	sylan 471	. . . . . . . . 9
84		ccatval1 12595	. . . . . . . . 9
85	76, 80, 83, 84	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
86	79, 85	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
87	52	adantr 465	. . . . . . . 8
88		fzoss1 11852	. . . . . . . . . . . 12
89		nn0uz 11144	. . . . . . . . . . . 12
90	88, 89	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . 11
91	30, 90	syl 16	. . . . . . . . . 10
92	91, 61	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . 9
93	92	sselda 3503	. . . . . . . 8
94	87, 80, 93, 64	syl3anc 1228	. . . . . . 7
95	18	adantr 465	. . . . . . . 8
96		uzid 11124	. . . . . . . . . . . . 13
97	71, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
98		uzaddcl 11166	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 36, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
100		fzoss2 11853	. . . . . . . . . . 11
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . . . 10
102	26, 38	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
103	102	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10
104	101, 103	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . 9
105	104	sselda 3503	. . . . . . . 8
106		ccatval2 12596	. . . . . . . 8
107	75, 95, 105, 106	syl3anc 1228	. . . . . . 7
108	86, 94, 107	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
109	10	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11
110	109	adantr 465	. . . . . . . . . 10
111		elfzoelz 11829	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	zcnd 10995	. . . . . . . . . . . 12
113	112	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
114	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
115	34	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
116	113, 114, 115	subsub4d 9985	. . . . . . . . . 10
117	110, 116	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9
118	117	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
119		simpl2 1000	. . . . . . . . 9
120		simpl3 1001	. . . . . . . . 9
121	38	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . 12
122	121	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11
123	122	biimpa 484	. . . . . . . . . 10
124	43	adantr 465	. . . . . . . . . 10
125	70	adantr 465	. . . . . . . . . 10
126	36	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . . 12
127	70, 126	zaddcld 10998	. . . . . . . . . . 11
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . 10
129		fzosubel2 11876	. . . . . . . . . 10
130	123, 124, 125, 128, 129	syl13anc 1230	. . . . . . . . 9
131		ccatval2 12596	. . . . . . . . 9
132	119, 120, 130, 131	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
133	118, 132	eqtr4d 2501	. . . . . . 7
134	52	adantr 465	. . . . . . . 8
135	10, 11	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10
136	135	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
137	136	biimpar 485	. . . . . . . 8
138		ccatval2 12596	. . . . . . . 8
139	134, 120, 137, 138	syl3anc 1228	. . . . . . 7
140		simpl1 999	. . . . . . . 8
141	18	adantr 465	. . . . . . . 8
142		fzoss1 11852	. . . . . . . . . . 11
143	58, 142	syl 16	. . . . . . . . . 10
144	143, 103	sseqtr4d 3540	. . . . . . . . 9
145	144	sselda 3503	. . . . . . . 8
146	140, 141, 145, 106	syl3anc 1228	. . . . . . 7
147	133, 139, 146	3eqtr4d 2508	. . . . . 6
148	108, 147	jaodan 785	. . . . 5
149	74, 148	syldan 470	. . . 4
150	69, 149	jaodan 785	. . 3
151	46, 150	syldan 470	. 2
152	15, 42, 151	eqfnfvd 5984	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cmin 9828  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536

This theorem is referenced by:  ccatw2s1ass  12634  cats1cat  12826  frmdmnd  16027  efginvrel2  16745  efgredleme  16761  efgredlemc  16763  efgcpbllemb  16773  numclwlk1lem2foa  25091  numclwlk1lem2fo  25095  signstfvc  28531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701