Theorem ccatcl 12593

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 12592	. 2
2		wrdf 12553	. . . . . . 7
3	2	ad2antrr 725	. . . . . 6
4	3	ffvelrnda 6031	. . . . 5
5		wrdf 12553	. . . . . . . 8
6	5	adantl 466	. . . . . . 7
7	6	ad2antrr 725	. . . . . 6
8		simpr 461	. . . . . . . . . 10
9		wrdfin 12561	. . . . . . . . . . . . . 14
10	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
11		hashcl 12428	. . . . . . . . . . . . 13
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
13	12	nn0zd 10992	. . . . . . . . . . 11
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10
15		fzospliti 11857	. . . . . . . . . 10
16	8, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
17	16	orcanai 913	. . . . . . . 8
18	13	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
19		fzosubel 11875	. . . . . . . 8
20	17, 18, 19	syl2anc 661	. . . . . . 7
21	12	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
22	21	subidd 9942	. . . . . . . . 9
23		wrdfin 12561	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
25		hashcl 12428	. . . . . . . . . . . 12
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11
27	26	nn0cnd 10879	. . . . . . . . . 10
28	21, 27	pncan2d 9956	. . . . . . . . 9
29	22, 28	oveq12d 6314	. . . . . . . 8
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . 7
31	20, 30	eleqtrd 2547	. . . . . 6
32	7, 31	ffvelrnd 6032	. . . . 5
33	4, 32	ifclda 3973	. . . 4
34		eqid 2457	. . . 4
35	33, 34	fmptd 6055	. . 3
36		iswrdi 12552	. . 3
37	35, 36	syl 16	. 2
38	1, 37	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  ifcif 3941  e.cmpt 4510  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cfn 7536  0cc0 9513  caddc 9516  cmin 9828  cn0 10820  cz 10889  cfzo 11824  chash 12405  Wordcword 12534  cconcat 12536

This theorem is referenced by:  ccatsymb  12600  ccatlid  12603  ccatrid  12604  ccatass  12605  lswccatn0lsw  12607  lswccat0lsw  12608  ccatws1cl  12624  ccatswrd  12681  swrdccat1  12682  swrdccat2  12683  swrdccatfn  12707  swrdccatin1  12708  swrdccatin2  12712  swrdccatin12lem2c  12713  swrdccatin12  12716  splcl  12728  spllen  12730  splfv1  12731  splfv2a  12732  splval2  12733  revccat  12740  cshwcl  12769  cats1cld  12820  cats1cli  12822  gsumccat  16009  gsumspl  16012  gsumwspan  16014  frmdplusg  16022  frmdmnd  16027  frmdsssubm  16029  frmdup1  16032  psgnuni  16524  efginvrel2  16745  efgsp1  16755  efgredleme  16761  efgredlemc  16763  efgcpbllemb  16773  efgcpbl2  16775  frgpuplem  16790  frgpup1  16793  psgnghm  18616  wwlknext  24724  clwlkisclwwlk2  24790  clwwlkel  24793  wwlkext2clwwlk  24803  numclwwlkovf2ex  25086  numclwlk1lem2foa  25091  numclwlk1lem2fo  25095  sseqf  28331  ofcccat  28498  signstfvn  28526  signstfvp  28528  signstfvc  28531  signsvfn  28539  signsvtn  28541  signshf  28545  mrsubccat  28878  mrsubco  28881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-concat 12544